Ο χοίρος του θεού της σελήνης

Ο θεός Θωθ ήταν στην αρχαία Αίγυπτο ο θεός της σελήνης.

Κάθε πανσέληνο, προς τιμήν του, κάθε οικογένεια θυσίαζε ένα χοίρο και ήταν η μόνη μέρα που έτρωγαν χοιρινό κρέας. 

Η περιγραφή του Ηρόδοτου είναι λιτή και συγκλονιστική [ΕΥΤΕΡΠΗ, ΙΙ, 46]

 

Οι φτωχοί όμως δεν είχαν και έτσι, για να τιμήσουν τον θεό, έφτιαχναν ένα ζυμαρένιο γουρουνάκι το οποίο έκαιγαν σαν προσφορά.

 "οι δε πένητες αυτών υπ' ασθενείης βίου σταιτίνας πλάσαντες υς και οπτήσαντες ταύτας θύουσι."

 Το μικρογλυπτό είναι λεπτομέρεια από τη σύνθεση της Κλειώς Γκιζελή

 The Greenhouse. 
Miniature garden sealed inside an old computer screen. 
Clay, fabric, light, soil, drinkin straws and other plastics.
2018.

 

την οποία και από αυτή τη θέση ευχαριστώ θερμά. 

Είναι σίγουρο ότι ο θεός Θωθ θα φωτίζει τις πανσέληνες νύχτες μας για πολύ καιρό.

 

ΥΓ. Ενα αντίστοιχο έθιμο υπάρχει ακόμα και σήμερα . Στο χωριό μου το Λουτρό Σφακίων διατηρείται ένα υπέροχο έθιμο που έλκει τη καταγωγή του από τους μινωικούς χρόνους. Οι πιστοί, ανήμερα του Αγίου Αντωνίου 18 Ιανουαρίου προσφέρουν στον Άγιο τάματα από ζύμη που αναπαραστούν ανθρώπινα μέλη ή και ολόκληρα ανθρωπάκια ζητώντας τη θεία παρέμβαση για να ξεπεράσουν μια αρρώστια ή για να παραμείνουν υγιείς, όπως αναφέρει ο Yiorgos St Patroudakis

 https://www.facebook.com/photo?fbid=10217837740957346&set=a.10206202966775263

 

Το μοιρογνωμόνιο βράχηκε

Σε ένα μοιρογνωμόνιο σχεδιάζουμε μία ευθεία ΓΔ με γωνία 45ο ως πρός την κατακόρυφη ΑΒ.(fig.1)

Οι γωνίες φ είναι κατακορυφήν και, σύμφωνα με την πρόταση 15 των Στοιχείων του Ευκλείδη είναι ίσες

Βουτάμε τώρα το μισό μοιρογνωμόνιο στο νερό. Η ΓΔ είναι ζωγραφισμένη πάνω του και βέβαια δεν άλλαξε θέση ως πρός την ΑΒ, πρέπει λοιπόν να δούμε την παρακάτω εικόνα fig.2

Η πραγματικότητα όμως μας διαψεύδει, ξεκάθαρα βλέπουμε κάτι άλλο, που δεν περιμέναμε (fig.3)

 

Τι συμβαίνει ;; Οι γωνίες φ ήταν κατακορυφήν, σύμφωνα με τον ορισμό του Ευκλείδη, η ΓΔ ήταν στερεωμένη πάνω στο μοιρογνωμόνιο και δεν μετακινήθηκε μαγικά επειδή το βρέξαμε, τι άλλαξε ;;;

Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες σε έναν Ευκλείδιο χώρο, που η ταχύτητα του φωτός είναι c, και επειδή ο Ευκλείδιος χώρος είναι ομογενής και ισότροπος, η ταχύτητα είναι ίδια σε όλα τα σημεία και προς όλες τις κατευθύνσεις.

Το μοιρογνωμόνιο τώρα δεν βρίσκεται σε Ευκλείδιο χώρο, η ταχύτητα του φωτός μέσα στο νερό έχει διαφορετική  τιμή και συγκεκριμμένα μικρότερη, άρα η πρόταση 15 δεν ισχύει πια, ο χώρος μας τώρα δεν είναι ούτε ομογενής ούτε ισότροπος, έχει μία άλλη γεωμετρία, που δεν είναι Ευκλείδια.

Ετσι λοιπόν οι "κατακορυφήν" γωνίες αυτού του χώρου  δεν είναι ίσες.

 

Η μεγάλη στροφή

Η Eleanor Robson, Ancient Middle Eastern Science, Department of History and Philosophy of Science, University of Cambridge

στην εργασία της "Words and Pictures: New Light on Plimpton 322"[2002] μελετάει το πλακίδιο YBC 7302 [18ος πΧ αιώνας, Νότια Μεσοποταμία] και κάνει μια σημαντική παρατήρηση.

 Στο πλακίδιο υπολογίζεται το εμβαδόν του κύκλου σαν συνάρτηση του μήκους της περιφέρειας.Συγκρίνοντας το και με άλλα μαθηματικά πλακίδια, μας αναφέρει ότι αυτός ήταν ο συνηθισμένος τρόπος στα Βαβυλωνιακά μαθηματικά της εποχής, οι μαθηματικοί έβλεπαν τον κύκλο από έξω προς τα μέσα, δεν υπήρχαν αναφορές στη διάμετρο ή την ακτίνα του κύκλου και αν υπήρχαν κάπου δεν χρησιμοποιούνταν στους υπολογισμούς. 

Εδώ βλέπουμε δύο χαρακτηριστικά αποσπάσματα από την εργασία της  Eleanor Robson

 

Δώδεκα αιώνες αργότερα, ο Θαλής πρώτος αποδεικνύει ότι η διάμετρος χωρίζει τον κύκλο σε δύο ίσα μέρη.

Ο σχολιαστής του Ευκλείδη Πρόκλος κάνει μία τολμηρή προσέγγιση της πιθανής απόδειξης του Θαλή στην οποία το μόνο επιχείρημα είναι η απαγωγή σε άτοπο.

Εδώ λοιπόν οριοθετείται η μεγάλη διαλεκτική στροφή της γεωμετρίας, από τον Θαλή και πέρα βλέπουμε τον κύκλο από μέσα προς τα έξω και η διάμετρος αποκτάει πρωταγωνιστικό ρόλο.

Ακολουθούν τρεις συναρπαστικοί αιώνες γεωμετρικής έρευνας που συγκεντρώνουν το ενδιαφέρον των φιλοσόφων μέχρι να φτάσουμε στα ώριμα Στοιχεία του Ευκλείδη. Στους ορισμούς 15, 16 και 17 οριστικοποιείται η παρέμβαση του Θαλή, που άλλαξε τη ροή της διαλεκτικής και έκανε τη γεωμετρία επιστήμη.

______________________________________________________

Παραπομπές

H. Diels, Fragmente der Vorsokratiker

Πάππου, Συναγωγή

E. Robson, Words and Pictures: New Light on Plimpton 322

Ευκλείδη, Στοιχεία

Η έλιξ του Αρχιμήδη

 Ο μεγάλος μαθηματικός και αστρονόμος Κόνων ο Σάμιος έχει ξεκινήσει τις μελέτες της έλικας, μιας νέας τότε καμπύλης για τη γεωμετρία. Δυστυχώς ο θάνατός του γύρω στο 220 πΧ του στέρησε τη δυνατότητα να ολοκληρώσει. Είχε όμως συζητήσει το θέμα με τον Αρχιμήδη, που ενδιαφέρθηκε ζωηρά για τις έλικες, αφού είδε ότι έλυναν τα προβλήματα του τετραγωνισμού του κύκλου και της τριχοτόμησης της γωνίας. Ετσι έγραψε ένα μικρό βιβλίο "Περί ελίκων" με ακριβείς ορισμούς και "θαυμαστές" αποδείξεις, όπως αναφέρει αργότερα [300 μΧ] ο Πάππος στο έργο του "Συναγωγή". Ο Αρχιμήδης έστελνε στον Κόνωνα μόνο τα θεωρήματα, για να ελέγξει τη δομή των συλλογισμών. Μετά το θάνατο του Κόνωνα και αφού δεν εμφανίστηκε άλλος να ασχοληθεί με το θέμα, έστειλε στο φίλο του Δοσίθεο στην Αλεξάνδρεια όλη την πραγματεία, με τους ορισμούς, τα θεωρήματα [προτάσεις], τις αποδείξεις και τα πορίσματα.

Η έλιξ του Αρχιμήδη παράγεται από μια ημιευθεία ΟΑ, που περιστρέφεται με σταθερή ταχύτητα γύρω από κάποιο κέντρο Ο, ενώ ταυτόχρονα το Α ολισθαίνει πάνω στην ΟΑ με σταθερή ταχύτητα, ενώ απομακρύνεται από το Ο.

 

Στην πρόταση 20 της πραγματείας ο Αρχιμήδης θέτει την ιδέα του τετραγωνισμού του κύκλου, παρατηρώντας ότι η εφαπτομένη σε ένα σημείο Ρ της έλικας OPQ' τέμνει την κάθετη στο ΟΡ σε ένα σημείο Τ, τέτοιο ώστε το ευθύγραμμο τμήμα ΟΤ να έχει το ίδιο μήκος με το τόξο ΚRP.

 Η απόδειξη έχει τη συνήθη αρτιότητα και αυστηρότητα του Αρχιμήδη, ένα φλέγον ερώτημα όμως μένει αναπάντητο, πώς του ήρθε η ιδέα, μιας και τα δύο μεγέθη δε συνδέονται άμεσα. Είναι άλλωστε γνωστό το παράπονο όλων των μεταγενέστερων μαθηματικών, ο Αρχιμήδης επικεντρώνεται στις αποδείξεις και δεν έχει την ανάγκη να εξηγήσει τον τρόπο που σκεφτότανε το κάθε θέμα. 

Με την άπειρη σεμνότητα που τον διέκρινε πάντα, ο Αρχιμήδης εξηγεί στον Δοσίθεο ότι ο Κόνων απλά δεν πρόλαβε να ολοκληρώσει τη μελέτη των ελίκων "Ολα αυτά θα τα είχε βρει και άλλα πολλά για να προοδεύσει η γεωμετρία." 

 

Στους αιώνες που ακολούθησαν, όλοι οι μεγάλοι μαθηματικοί ασχολήθηκαν με τα Περί Ελίκων του Αρχιμήδη, κανείς όμως δεν διατύπωσε κάποια πρόταση ή υποψία για το πώς συνέλαβε ο Αρχιμήδης την ιδιότητα αυτής της καμπύλης, που φέρει στη βιβλιογραφία το όνομά του [The Spiral of Archimedes].
 

Πόσο μακριά έβλεπε ο Θαλής

Ο Θαλής [624-545 πΧ], ένας δραστήριος έμπορος από τη Μίλητο, ταξίδευε συχνά για δουλειές στη Μεσοποταμία και στην Αίγυπτο και είδε με μεγάλο ενδιαφέρον την ανάπτυξη που είχαν σ' αυτές τις περιοχές η Φιλοσοφία, τα Μαθηματικά και η Αστρονομία.

Αρχισε σιγά σιγά να διαμορφώνει τις δικές του απόψεις για την προέλευση και τις ιδιότητες αυτού του κόσμου και να αφαιρεί τα μυθολογικά στοιχεία που επικρατούσαν στον Ελληνικό χώρο, με κύριο εκφραστή τον Ησίοδο από τον 8ο αιώνα [Θεογονία, Εργα και Ημέραι]

Οι σοφοί Χαλδαίοι και οι Αιγύπτιοι είχαν ασχοληθεί πάνω από 2000 χρόνια με την αστρονομία και τη γεωμετρία και είχαν τεράστια αρχεία παρατηρήσεων, που τους έδειχναν μία επανάληψη, μία περιοδικότητα στην εμφάνιση του ήλιου, της σελήνης και των αστεριών. Αυτό τους επέτρεπε να κάνουν προβλέψεις, πχ μιας επόμενης έκλειψης ηλίου, στηριγμένοι στην επανάληψη που παρουσίαζαν τα κατάστιχά τους, είχαν δηλαδή, όπως θα λέγαμε σε σύγχρονη γλώσσα, μία τράπεζα δεδομένων που πήγαινε προς τα πίσω σε μεγάλο βάθος χρόνου. Στη γεωμετρία αντίστοιχα είχαν μεγάλους καταλόγους από διάφορα πχ ορθογώνια τρίγωνα, που οι πλευρές τους παρουσίαζαν μια παράξενη ιδιότητα, το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών να είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας.

Η καινοτομία στη σκέψη του Θαλή ήταν πως όλες αυτές οι παρατηρήσεις απορρέουν από κάποιες ιδιότητες που έχουν, για παράδειγμα, ΟΛΑ τα ορθογώνια τρίγωνα και όχι μόνο αυτά που είχαν στα ατέλειωτα αρχεία τους οι σοφοί Χαλδαίοι και Αιγύπτιοι. Ετσι γεννήθηκε η καινοτόμα ιδέα των θεωρημάτων και, προκειμένου να πείσει τους γύρω του, η ιδέα της απόδειξης. Η χαρά της ανακάλυψης τέτοιων ιδιοτήτων ήταν μεγάλη, η παράδοση λέει ότι όταν ανακάλυψε ότι κάθε γωνία που τελειώνει στη διάμετρο ενός κύκλου είναι ορθή, θυσίασε ένα βόδι, όπως μας πληροφορεί ο Διογένης ο Λαέρτιος.

 Η ποιοτική διαφορά στη σκέψη του Θαλή ήταν πως η ιδιότητα αυτή ισχύει για ΚΑΘΕ γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο, όχι μόνο για κάποιες συγκεκριμμένες περιπτώσεις τριγώνων με γωνίες 30 ή 45 ή 60 μοιρών. 

Η ιδιότητα της αποκοπής ανάλογων τμημάτων από παράλληλες ευθείες ισχύει για ΟΛΕΣ τις παράλληλες και όχι μόνο για συγκεκριμμένες περιπτώσεις.

 AD/DB = AE/EC

Τα "πρωτόγονα" θεωρήματα του Θαλή δοκιμάζονται στο χρόνο και αποκτούν περίοπτη θέση 300 χρόνια αργότερα στα Στοιχεία του Ευκλείδη, που ανοίγει το δρόμο στους μεταγενέστερους μελετητές.

ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΧΟΤΟΜΟΥ

Στο 6ο βιβλίο, πρόταση 3 των Στοιχείων του Ευκλείδη συναντάμε το πολύ ενδιαφέρον θεώρημα της διχοτόμου.

 

 Η στιλπνή απόδειξη του Ευκλείδη στηρίζεται στο "πρωτόγονο" θεώρημα του Θαλή. Αν φέρουμε από το Β την ΒΕ παράλληλη στη διχοτόμο ΑΔ, τότε

BD/DC = AE/AC

 και, επειδή ΑΒ = ΑΕ

BD/DC = AB/AC 

ο. ε. δ.

Πενήντα χρόνια αργότερα ο ρηξικέλευθος Αρίσταρχος φαντάζεται ένα τεράστιο ορθογώνιο τρίγωνο με κορυφές τη γη, τη σελήνη και τον ήλιο, την ώρα που η σελήνη φαίνεται φωτισμένη η μισή. Σε αυτό το σχηματισμό ο Αρίσταρχος θέλει να υπολογίσει τη σχέση των αποστάσεων της γης από τον ήλιο και τη σελήνη.

Στην εντυπωσιακή απόδειξη των συλλογισμών του, σε κάποιο κρίσιμο σημείο θέλει να βρει τον λόγο FG/GE. Η BG όμως έχει φτιαχτεί σαν διχοτόμος της γωνίας EBF, άρα, από το θεώρημα της διχοτόμου  FG/GE = FB/BΕ. Αυτός ο τελευταίος λόγος όμως δεν είναι τίποτα άλλο από τον λόγο της διαγωνίου τετραγώνου προς την πλευρά, ο θρυλικός ασύμμετρος τετραγωνική ρίζα του 2.  

Αυτό είναι και το καταλυτικό σημείο της απόδειξης του Αρίσταρχου, που προσδιορίζει μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκεται ο λόγος S/L.

Η ιδέες του Θαλή είναι εδώ, οι ιδιότητες ισχύουν και για τέτοια τεράστια τρίγωνα στο σύμπαν, η πρόταση 6.3 του Ευκλείδη ισχύει και για αυτή τη διαστημική διχοτόμο και, όποιος αμφιβάλλει, ο Θαλής είναι καλά κρυμμένος πίσω απ' την απόδειξη των διχοτόμων του κόσμου.
 

Αλλο να το βρεις, άλλο να το πεις

Το 1833 ο Michael Faraday έχει ολοκληρώσει τη μελέτη της ηλεκτρόλυσης και έχει διατυπώσει τους νόμους που την περιγράφουν.

Το ρεύμα μπαίνει από το ένα ηλεκτρόδιο στο διάλυμα, περνάει μέσα από το υγρό και καταλήγει στο δεύτερο ηλεκτρόδιο. Από εκεί, μέσα από τα χάλκινα σύρματα, πηγαίνει στην μπαταρία και ξαναεμφανίζεται στο πρώτο ηλεκτρόδιο κλείνοντας έτσι το κύκλωμα.
Ολα αυτά τα υπέροχα που έχει ανακαλύψει μέσα από εξαντλητικά πειράματα, πρέπει κάπως να τα ονομάσει, για να αποφεύγει τις μακροσκελείς περιγραφές.
Φαντάζεται την πορεία του ήλιου, που εμφανίζεται κάθε πρωί στην Ανατολή, ανεβαίνει, μεσουρανεί, κατεβαίνει και χάνεται στη Δύση, ακολουθώντας μια μη ορατή πορεία μέχρι να ξαναεμφανιστεί αύριο στην Ανατολή.

Απευθύνεται στο φίλο του William Whewell, εραστή των επιστημών και των γλωσσών, του εξηγεί το όραμά του και ο Whewell, στηριγμένος στην ακρίβεια της Ελληνικής γλώσσας , δημιουργεί τους όρους ηλεκτρόδιο, ηλεκτρόλυση, ιόν, ανιόν, κατιόν, άνοδος και κάθοδος.

Ετσι ολοκληρώνεται η παρουσίαση του φαινομένου και των νόμων της ηλεκτρόλυσης και ο Faraday μπορεί τώρα να ξαναγυρίσει στα πειράματα του ηλεκτρομαγνητισμού. Μερικά από αυτά, πριν μερικά χρόνια, δεν του είχαν δώσει το επιθυμητό αποτέλεσμα, καιρός είναι να τα ξαναδεί.

Η μαγνητόπετρα και οι απιστίες

Το ορυκτό του σιδήρου μανητίτης ήταν γνωστό από τα αρχαία χρόνια για την ιδιότητα να έλκει μικρά κομμάτια σιδήρου.

Ο μυθικός Ορφέας, πάντα ερωτικός, δίνει μια εξαιρετική ποιητική περιγραφή της ιδιότητας αυτής.
Η μάγνησσα έλκει το σίδερο όπως η κόρη κρύβεται στο στέρνο του αντρός της

Το 1600 ο Αγγλος φυσικός William Gilbert

τυπώνει το βιβλίο του DE MAGNETE
και βάζει τα πράγματα σε τάξη.

Οι ιδιότητες της μαγνητόπετρας είναι συγκεκριμμένες, μακριά από μαγείες και μυστήρια και καλό είναι να αρχίσουμε τη συστηματική μελέτη.
Πριν πει τις δικές του ενδιαφέρουσες απόψεις, κάνει μια αναδρομή στην ιστορία της μαγνητόπετρας, ξεκινώντας βέβαια από τον Ορφέα.

Ο Βυζαντινός γραμματικός Ιωάννης Τζέτζης [1100 μΧ] έχει πολλές αναφορές στην αρχαιοελληνική γραμματεία. Μέσα στα κείμενά του βέβαια έχουν μπει και φήμες και διαδόσεις, που δεν προέρχονται από τις πηγές.
Ετσι, η μαγνητόπετρα έχει, εκτός των άλλων και τη μαγική ιδιότητα να αποκαλύπτει τις απιστίες και όλες τις αμαρτίες της γυναίκας.
Φτάνει, γράφει, να βάλεις μία μαγνητόπετρα κάτω απ' τα σεντόνια της, χωρίς να σε καταλάβει και τότε αυτή θα τα μολογήσει όλα, ένα ένα και με τη σειρά.

Ενώ η αναμάρτητη, η άπταιστη, θα απλώσει τα χέρια της και θα αγκαλιάσει τον άντρα της.
Ξέρει βέβαια και άλλα κόλπα, λέει, με χήνες και βατράχους, που μαρτυρούν τα φταιξίματα, αλλά αρκείται στο σούπερ τεστ της μαγνητόπετρας !!