Το μοιρογνωμόνιο βράχηκε

Σε ένα μοιρογνωμόνιο σχεδιάζουμε μία ευθεία ΓΔ με γωνία 45ο ως πρός την κατακόρυφη ΑΒ.(fig.1)

Οι γωνίες φ είναι κατακορυφήν και, σύμφωνα με την πρόταση 15 των Στοιχείων του Ευκλείδη είναι ίσες

Βουτάμε τώρα το μισό μοιρογνωμόνιο στο νερό. Η ΓΔ είναι ζωγραφισμένη πάνω του και βέβαια δεν άλλαξε θέση ως πρός την ΑΒ, πρέπει λοιπόν να δούμε την παρακάτω εικόνα fig.2

Η πραγματικότητα όμως μας διαψεύδει, ξεκάθαρα βλέπουμε κάτι άλλο, που δεν περιμέναμε (fig.3)

 

Τι συμβαίνει ;; Οι γωνίες φ ήταν κατακορυφήν, σύμφωνα με τον ορισμό του Ευκλείδη, η ΓΔ ήταν στερεωμένη πάνω στο μοιρογνωμόνιο και δεν μετακινήθηκε μαγικά επειδή το βρέξαμε, τι άλλαξε ;;;

Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες σε έναν Ευκλείδιο χώρο, που η ταχύτητα του φωτός είναι c, και επειδή ο Ευκλείδιος χώρος είναι ομογενής και ισότροπος, η ταχύτητα είναι ίδια σε όλα τα σημεία και προς όλες τις κατευθύνσεις.

Το μοιρογνωμόνιο τώρα δεν βρίσκεται σε Ευκλείδιο χώρο, η ταχύτητα του φωτός μέσα στο νερό έχει διαφορετική  τιμή και συγκεκριμμένα μικρότερη, άρα η πρόταση 15 δεν ισχύει πια, ο χώρος μας τώρα δεν είναι ούτε ομογενής ούτε ισότροπος, έχει μία άλλη γεωμετρία, που δεν είναι Ευκλείδια.

Ετσι λοιπόν οι "κατακορυφήν" γωνίες αυτού του χώρου  δεν είναι ίσες.

 

Η μεγάλη στροφή

Η Eleanor Robson, Ancient Middle Eastern Science, Department of History and Philosophy of Science, University of Cambridge

στην εργασία της "Words and Pictures: New Light on Plimpton 322"[2002] μελετάει το πλακίδιο YBC 7302 [18ος πΧ αιώνας, Νότια Μεσοποταμία] και κάνει μια σημαντική παρατήρηση.

 Στο πλακίδιο υπολογίζεται το εμβαδόν του κύκλου σαν συνάρτηση του μήκους της περιφέρειας.Συγκρίνοντας το και με άλλα μαθηματικά πλακίδια, μας αναφέρει ότι αυτός ήταν ο συνηθισμένος τρόπος στα Βαβυλωνιακά μαθηματικά της εποχής, οι μαθηματικοί έβλεπαν τον κύκλο από έξω προς τα μέσα, δεν υπήρχαν αναφορές στη διάμετρο ή την ακτίνα του κύκλου και αν υπήρχαν κάπου δεν χρησιμοποιούνταν στους υπολογισμούς. 

Εδώ βλέπουμε δύο χαρακτηριστικά αποσπάσματα από την εργασία της  Eleanor Robson

 

Δώδεκα αιώνες αργότερα, ο Θαλής πρώτος αποδεικνύει ότι η διάμετρος χωρίζει τον κύκλο σε δύο ίσα μέρη.

Ο σχολιαστής του Ευκλείδη Πρόκλος κάνει μία τολμηρή προσέγγιση της πιθανής απόδειξης του Θαλή στην οποία το μόνο επιχείρημα είναι η απαγωγή σε άτοπο.

Εδώ λοιπόν οριοθετείται η μεγάλη διαλεκτική στροφή της γεωμετρίας, από τον Θαλή και πέρα βλέπουμε τον κύκλο από μέσα προς τα έξω και η διάμετρος αποκτάει πρωταγωνιστικό ρόλο.

Ακολουθούν τρεις συναρπαστικοί αιώνες γεωμετρικής έρευνας που συγκεντρώνουν το ενδιαφέρον των φιλοσόφων μέχρι να φτάσουμε στα ώριμα Στοιχεία του Ευκλείδη. Στους ορισμούς 15, 16 και 17 οριστικοποιείται η παρέμβαση του Θαλή, που άλλαξε τη ροή της διαλεκτικής και έκανε τη γεωμετρία επιστήμη.

______________________________________________________

Παραπομπές

H. Diels, Fragmente der Vorsokratiker

Πάππου, Συναγωγή

E. Robson, Words and Pictures: New Light on Plimpton 322

Ευκλείδη, Στοιχεία

Η έλιξ του Αρχιμήδη

 Ο μεγάλος μαθηματικός και αστρονόμος Κόνων ο Σάμιος έχει ξεκινήσει τις μελέτες της έλικας, μιας νέας τότε καμπύλης για τη γεωμετρία. Δυστυχώς ο θάνατός του γύρω στο 220 πΧ του στέρησε τη δυνατότητα να ολοκληρώσει. Είχε όμως συζητήσει το θέμα με τον Αρχιμήδη, που ενδιαφέρθηκε ζωηρά για τις έλικες, αφού είδε ότι έλυναν τα προβλήματα του τετραγωνισμού του κύκλου και της τριχοτόμησης της γωνίας. Ετσι έγραψε ένα μικρό βιβλίο "Περί ελίκων" με ακριβείς ορισμούς και "θαυμαστές" αποδείξεις, όπως αναφέρει αργότερα [300 μΧ] ο Πάππος στο έργο του "Συναγωγή". Ο Αρχιμήδης έστελνε στον Κόνωνα μόνο τα θεωρήματα, για να ελέγξει τη δομή των συλλογισμών. Μετά το θάνατο του Κόνωνα και αφού δεν εμφανίστηκε άλλος να ασχοληθεί με το θέμα, έστειλε στο φίλο του Δοσίθεο στην Αλεξάνδρεια όλη την πραγματεία, με τους ορισμούς, τα θεωρήματα [προτάσεις], τις αποδείξεις και τα πορίσματα.

Η έλιξ του Αρχιμήδη παράγεται από μια ημιευθεία ΟΑ, που περιστρέφεται με σταθερή ταχύτητα γύρω από κάποιο κέντρο Ο, ενώ ταυτόχρονα το Α ολισθαίνει πάνω στην ΟΑ με σταθερή ταχύτητα, ενώ απομακρύνεται από το Ο.

 

Στην πρόταση 20 της πραγματείας ο Αρχιμήδης θέτει την ιδέα του τετραγωνισμού του κύκλου, παρατηρώντας ότι η εφαπτομένη σε ένα σημείο Ρ της έλικας OPQ' τέμνει την κάθετη στο ΟΡ σε ένα σημείο Τ, τέτοιο ώστε το ευθύγραμμο τμήμα ΟΤ να έχει το ίδιο μήκος με το τόξο ΚRP.

 Η απόδειξη έχει τη συνήθη αρτιότητα και αυστηρότητα του Αρχιμήδη, ένα φλέγον ερώτημα όμως μένει αναπάντητο, πώς του ήρθε η ιδέα, μιας και τα δύο μεγέθη δε συνδέονται άμεσα. Είναι άλλωστε γνωστό το παράπονο όλων των μεταγενέστερων μαθηματικών, ο Αρχιμήδης επικεντρώνεται στις αποδείξεις και δεν έχει την ανάγκη να εξηγήσει τον τρόπο που σκεφτότανε το κάθε θέμα. 

Με την άπειρη σεμνότητα που τον διέκρινε πάντα, ο Αρχιμήδης εξηγεί στον Δοσίθεο ότι ο Κόνων απλά δεν πρόλαβε να ολοκληρώσει τη μελέτη των ελίκων "Ολα αυτά θα τα είχε βρει και άλλα πολλά για να προοδεύσει η γεωμετρία." 

 

Στους αιώνες που ακολούθησαν, όλοι οι μεγάλοι μαθηματικοί ασχολήθηκαν με τα Περί Ελίκων του Αρχιμήδη, κανείς όμως δεν διατύπωσε κάποια πρόταση ή υποψία για το πώς συνέλαβε ο Αρχιμήδης την ιδιότητα αυτής της καμπύλης, που φέρει στη βιβλιογραφία το όνομά του [The Spiral of Archimedes].
 

Πόσο μακριά έβλεπε ο Θαλής

Ο Θαλής [624-545 πΧ], ένας δραστήριος έμπορος από τη Μίλητο, ταξίδευε συχνά για δουλειές στη Μεσοποταμία και στην Αίγυπτο και είδε με μεγάλο ενδιαφέρον την ανάπτυξη που είχαν σ' αυτές τις περιοχές η Φιλοσοφία, τα Μαθηματικά και η Αστρονομία.

Αρχισε σιγά σιγά να διαμορφώνει τις δικές του απόψεις για την προέλευση και τις ιδιότητες αυτού του κόσμου και να αφαιρεί τα μυθολογικά στοιχεία που επικρατούσαν στον Ελληνικό χώρο, με κύριο εκφραστή τον Ησίοδο από τον 8ο αιώνα [Θεογονία, Εργα και Ημέραι]

Οι σοφοί Χαλδαίοι και οι Αιγύπτιοι είχαν ασχοληθεί πάνω από 2000 χρόνια με την αστρονομία και τη γεωμετρία και είχαν τεράστια αρχεία παρατηρήσεων, που τους έδειχναν μία επανάληψη, μία περιοδικότητα στην εμφάνιση του ήλιου, της σελήνης και των αστεριών. Αυτό τους επέτρεπε να κάνουν προβλέψεις, πχ μιας επόμενης έκλειψης ηλίου, στηριγμένοι στην επανάληψη που παρουσίαζαν τα κατάστιχά τους, είχαν δηλαδή, όπως θα λέγαμε σε σύγχρονη γλώσσα, μία τράπεζα δεδομένων που πήγαινε προς τα πίσω σε μεγάλο βάθος χρόνου. Στη γεωμετρία αντίστοιχα είχαν μεγάλους καταλόγους από διάφορα πχ ορθογώνια τρίγωνα, που οι πλευρές τους παρουσίαζαν μια παράξενη ιδιότητα, το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών να είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας.

Η καινοτομία στη σκέψη του Θαλή ήταν πως όλες αυτές οι παρατηρήσεις απορρέουν από κάποιες ιδιότητες που έχουν, για παράδειγμα, ΟΛΑ τα ορθογώνια τρίγωνα και όχι μόνο αυτά που είχαν στα ατέλειωτα αρχεία τους οι σοφοί Χαλδαίοι και Αιγύπτιοι. Ετσι γεννήθηκε η καινοτόμα ιδέα των θεωρημάτων και, προκειμένου να πείσει τους γύρω του, η ιδέα της απόδειξης. Η χαρά της ανακάλυψης τέτοιων ιδιοτήτων ήταν μεγάλη, η παράδοση λέει ότι όταν ανακάλυψε ότι κάθε γωνία που τελειώνει στη διάμετρο ενός κύκλου είναι ορθή, θυσίασε ένα βόδι, όπως μας πληροφορεί ο Διογένης ο Λαέρτιος.

 Η ποιοτική διαφορά στη σκέψη του Θαλή ήταν πως η ιδιότητα αυτή ισχύει για ΚΑΘΕ γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο, όχι μόνο για κάποιες συγκεκριμμένες περιπτώσεις τριγώνων με γωνίες 30 ή 45 ή 60 μοιρών. 

Η ιδιότητα της αποκοπής ανάλογων τμημάτων από παράλληλες ευθείες ισχύει για ΟΛΕΣ τις παράλληλες και όχι μόνο για συγκεκριμμένες περιπτώσεις.

 AD/DB = AE/EC

Τα "πρωτόγονα" θεωρήματα του Θαλή δοκιμάζονται στο χρόνο και αποκτούν περίοπτη θέση 300 χρόνια αργότερα στα Στοιχεία του Ευκλείδη, που ανοίγει το δρόμο στους μεταγενέστερους μελετητές.

ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΧΟΤΟΜΟΥ

Στο 6ο βιβλίο, πρόταση 3 των Στοιχείων του Ευκλείδη συναντάμε το πολύ ενδιαφέρον θεώρημα της διχοτόμου.

 

 Η στιλπνή απόδειξη του Ευκλείδη στηρίζεται στο "πρωτόγονο" θεώρημα του Θαλή. Αν φέρουμε από το Β την ΒΕ παράλληλη στη διχοτόμο ΑΔ, τότε

BD/DC = AE/AC

 και, επειδή ΑΒ = ΑΕ

BD/DC = AB/AC 

ο. ε. δ.

Πενήντα χρόνια αργότερα ο ρηξικέλευθος Αρίσταρχος φαντάζεται ένα τεράστιο ορθογώνιο τρίγωνο με κορυφές τη γη, τη σελήνη και τον ήλιο, την ώρα που η σελήνη φαίνεται φωτισμένη η μισή. Σε αυτό το σχηματισμό ο Αρίσταρχος θέλει να υπολογίσει τη σχέση των αποστάσεων της γης από τον ήλιο και τη σελήνη.

Στην εντυπωσιακή απόδειξη των συλλογισμών του, σε κάποιο κρίσιμο σημείο θέλει να βρει τον λόγο FG/GE. Η BG όμως έχει φτιαχτεί σαν διχοτόμος της γωνίας EBF, άρα, από το θεώρημα της διχοτόμου  FG/GE = FB/BΕ. Αυτός ο τελευταίος λόγος όμως δεν είναι τίποτα άλλο από τον λόγο της διαγωνίου τετραγώνου προς την πλευρά, ο θρυλικός ασύμμετρος τετραγωνική ρίζα του 2.  

Αυτό είναι και το καταλυτικό σημείο της απόδειξης του Αρίσταρχου, που προσδιορίζει μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκεται ο λόγος S/L.

Η ιδέες του Θαλή είναι εδώ, οι ιδιότητες ισχύουν και για τέτοια τεράστια τρίγωνα στο σύμπαν, η πρόταση 6.3 του Ευκλείδη ισχύει και για αυτή τη διαστημική διχοτόμο και, όποιος αμφιβάλλει, ο Θαλής είναι καλά κρυμμένος πίσω απ' την απόδειξη των διχοτόμων του κόσμου.
 

Φαίνεται επίπεδο, δεν είναι !!

Ο Αρχιμήδης ξεκινάει να γράψει τις αρχές της υδροστατικής.
Τα θεωρήματα είναι λίγα και το ύφος είναι απαράμιλλα αυστηρό.

Ενα βαρέλι, με διάμετρο ένα μέτρο, γεμάτο νερό είναι για τον υπόλοιπο κόσμο η απόλυτη έκφραση του οριζοντίου επιπέδου.
Ο Αρχιμήδης όμως έχει άλλη άποψη.
Είναι ένα μικρό τμήμα μιας σφαιρικής επιφάνειας, που έχει το ίδιο κέντρο με τη γη.

Ξεκινώντας από αυτή τη θεμελιώδη παραδοχή, τα θεωρήματα και οι αποδείξεις τους τρέχουν σαν το νερό.
Αυτό που νομίζουμε επίπεδο, δεν είναι παρά μια προσέγγιση, ένα πολύγωνο εγγεγραμμένο σε ένα κύκλο.
Ενα πολύγωνο με πολλές πλευρές.
Σαράντα εκατομμύρια πλευρές.
Δεν το φαντάζεται απλώς, το ξέρει !!!

Ο Αρχύτας, το περιστέρι και η κουδουνίστρα

Ο Αρχύτας από τον Τάραντα [428-347 πΧ], γιος του Μνησαγόρα, ήταν επιφανής Πυθαγόρειος φιλόσοφος, μαθηματικός, αστρονόμος, μουσικός, μηχανικός και ικανώτατος στρατηγός.

Είχε εξαιρετική αντίληψη των τρισδιάστατων σχημάτων και επινόησε καμπύλες που έλυναν το άλυτο  πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου. Ακόμα και οι αρχαίοι μαθηματικοί αναφέρουν με θαυμασμό  τα "δυσμήχανα" του Αρχύτα

"μηδὲ σύ γ΄ Ἀρχύτεω δυσμήχανα ἔργα κυλίνδρων μηδὲ Μεναιχμείους κωνοτομεῖν τριάδας διζήσηι"
[Ερατοσθένης ].
Ξεφεύγοντας βέβαια από την παραδοσιακή επίπεδη γεωμετρία και τις λύσεις "με κανόνα και διαβήτη", κατηγορήθηκε όσο ήταν δυνατόν, μέχρι διαφθορέα του αγαθού της γεωμετρίας τον αποκαλεί ο Πλάτωνας

"διὸ καὶ Πλάτων αὐτὸς ἐμέμψατο τοὺς περὶ Εὔδοξον καὶ Ἀρχύταν καὶ Μέναιχμον εἰς ὀργανικὰς καὶ μηχανικὰς κατασκευὰς τὸν τοῦ στερεοῦ διπλασιασμὸν ἀπάγειν ἐπι χειροῦντας͵ ὥσπερ πειρωμένους δι΄ ἀλόγου δύο μέσας ἀνὰ λόγον͵ ἧι παρείκοι͵ λαβεῖν· ἀπόλλυσθαι γὰρ οὕτω καὶ διαφθείρεσθαι τὸ γεωμετρίας ἀγαθὸν αὖθις ἐπὶ τὰ αἰσθητὰ παλινδρομούσης καὶ μὴ φερομένης ἄνω μηδ΄ ἀντιλαμβανομένης τῶν ἀιδίων καὶ ἀσωμάτων εἰκόνων͵ πρὸς αἷσπερ ὢν ὁ θεὸς ἀεὶ θεός ἐστιν."

[Πλούταρχος]

Εκτός των άλλων είχε κατασκευάσει ένα ξύλινο περιστέρι που πέταγε, όπως μας πληροφορεί ο Gellius στις Αττικές Νύχτες, αντιγράφοντας τη χαμένη αναφορά του Φαβωρίνου

GELLIUS
NOCTES ATTICAE
Liber X

9Sed id, quod Archytam Pythagoricum commentum esse atque fecisse traditur, neque minus admirabile neque tamen vanum aeque videri debet. Nam et plerique nobilium Graecorum et Favorinus philosophus, memoriarum veterum exsequentissimus, affirmatissime scripserunt simulacrum columbae e ligno ab Archyta ratione quadam disciplinaque mechanica factum volasse; ita erat scilicet libramentis suspensum et aura spiritus inclusa atque occulta concitum. 10 Libet hercle super re tam abhorrenti a fide ipsius Favorini verba ponere: Ἀρχύτας Ταραντῖνος, τὰ ἄλλα καὶ μηχανικὸς ὤν, ἐποίησεν περιστερὰν ξυλίνην πετομένην· ὁπότε καθίσειεν, οὐκέτι ἀνίστατο. μέχρι γὰρ τούτου . . .

Είκοσι αιώνες αργότερα θα βρούμε τις αντίστοιχες προσπάθειες του Da Vinci

Υπήρξε μεγάλος παιδαγωγός, με πιο διάσημο μαθητή του τον μοναδικό Εύδοξο τον Κνίδιο. Πίστευε πως τα μωρά πρέπει να ακούνε απλούς αρμονικούς ήχους και έτσι κατασκεύασε την πλαταγή, 

μια κουδουνίστρα, που θαύμασε και ανέφερε ο Αριστοτέλης.

[25]

τῶν ἔργων κριτὰς γενέσθαι σπουδαίους. ἅμα δὲ καὶ δεῖ τοὺςπαῖδας ἔχειν τινὰ διατριβήν, καὶ τὴν Ἀρχύτου πλαταγὴν οἴεσθαι γενέσθαι καλῶς, ἣν διδόασι τοῖς παιδίοις, ὅπως χρώμενοι ταύτῃ μηδὲν καταγνύωσι τῶν κατὰ τὴν οἰκίαν: οὐγὰρ δύναται τὸ νέον ἡσυχάζειν. αὕτη μὲν οὖν ἐστι τοῖς [30]νηπίοις ἁρμόττουσα τῶν παιδίων, ἡ δὲ παιδεία πλαταγὴ τοῖςμείζοσι τῶν νέων. ὅτι μὲν οὖν παιδευτέον τὴν μουσικὴνοὕτως ὥστε καὶ κοινωνεῖν τῶν ἔργων, φανερὸν ἐκ τῶντοιούτων: τὸ δὲ πρέπον καὶ τὸ μὴ πρέπον ταῖς ἡλικίαις οὐχαλεπὸν διορίσαι, καὶ λῦσαι πρὸς τοὺς φάσκοντας βάναυσον

[Πολιτικά, 1340β]

Σήμερα ο κρατήρας Αρχύτας βρίσκεται στην Παγωμένη θάλασσα [Mare Frigoris] του βόρειου πόλου της σελήνης,κοντά στον δάσκαλό του Φιλόλαο, τον Τιμαίο, τον Πρωταγόρα και τον σκοτεινό κρατήρα Πλάτωνα. Εχουν ακόμα τις διαφωνίες τους αλλά και το χρόνο να τις συζητήσουν.

Ο Διονυσόδωρος κατέβηκε στο κέντρο της γης

Ο Διονυσόδωρος ήταν σημαντικός μαθηματικός του 2ου πΧ αιώνα. Ο Ευτόκιος αναφέρει με λεπτομέρειες τη λύση στο πρόβλημα του Αρχιμήδη να χωριστεί μία σφαίρα από ένα επίπεδο σε δύο κομμάτια με δοσμένο λόγο, που αλγεβρικά οδηγεί σε εξίσωση 3ου βαθμού.
Για την καταγωγή του υπάρχουν πολλές εκδοχές.
Ο Στράβων τοποθετεί την καταγωγή του στην Αμισό του Πόντου και τον διαχωρίζει από άλλον Διονυσόδωρο από τη Μήλο

μέχρι μὲν δὴ δεῦρο Ἀμισηνή. ἄνδρες δὲ γεγόνασιν ἄξιοι μνήμης κατὰ παιδείαν ἐνταῦθα μαθηματικοὶ μὲν Δημήτριος ὁ τοῦ Ῥαθηνοῦ καὶ Διονυσόδωρος ὁμώνυμος τῷ Μηλίῳ γεωμέτρῃ, γραμματικὸς δὲ Τυραννίων οὗ ἡμεῖς ἠκροασάμεθα.

Strabo (XII, 3,16)

Στον Πλίνιο [Lib.II, CIX] διαβάζουμε ότι ήταν από την Κύθνο ή από τη Μήλο, ενώ στον πάπυρο 1044 που βρέθηκε στο Herculaneum μαθαίνουμε ότι ήταν δάσκαλος του Φιλωνίδη

ΦΙΛΩΝΙΔΗΣΗΚΟΥΣΕΜΕΝΕΥΔΗΜΟΥΠΡΩΤΟΝΜΕΤΑΔΕΔΙΟΝΥΣΟΔΩΡΟΥ

και καταγόταν από την Καύνα της Μικράς Ασίας.

Ο Πλίνιος, τον 1ο μΧ αιώνα, στη Φυσική του Ιστορία μας δίνει μια από τις πιο απίθανες ιστορίες στο περιθώριο των επιστημών.
Ο Διονυσόδωρος έζησε μέχρι βαθειά γεράματα και πέθανε στην πατρίδα του. Οι γυναίκες που τον έθαψαν πήγαν μετά από λίγες μέρες να βάλουν μύρα και βρήκαν μια επιστολή του Διονυσόδωρου που έγραφε "Τώρα που πέθανα, κατέβηκα μέχρι το κέντρο της γής και μέτρησα την ακτίνα της 42000 στάδια και σας βεβαιώνω χωρίς να χρειαστεί να συμβουλευτείτε γεωμέτρες πως η περιφέρεια της γης είναι 252000 στάδια".
Ηταν τόσο μεγάλη η εντύπωση που είχε προκαλέσει η μέτρηση του Ερατοσθένη, που κάθε μαθηματικός ήθελε να παρουσιάσει μια δικιά του θεωρία, ακόμα και ταξιδεύοντας στο κέντρο της γης.

Η "μαγική" κογχοειδής

Ο Νικομήδης, στα μέσα του 3^ου πΧ αιώνα, ανακλύπτει την κογχοειδή καμπύλη και λύνει το πρόβλημα της τριχοτόμησης μιας γωνίας και του διπλασιασμού του κύβου, δύο από τα τρία άλυτα προβλήματα της Ευκλείδιας γεωμετρίας.

Σε μια περιφέρεια κέντρου Α και ακτίνας ΑΒ, το Α μένει σταθερό ενώ το Β κινείται με περιορισμό να απέχει σταθερή απόσταση R = AB από το Α.

Στην κογχοειδή το ΑΒ είναι πάλι σταθερό αλλά το Α ολισθαίνει πάνω σε μια ευθεία.

Η ονομασία της νέας καμπύλης προκύπτει από τις αρχαιοελληνικές λέξεις κόγχος ή κόγχη, που σημαίνουν μύδι.

Κατά τις μαρτυρίες του Πάππου και του Ευτόκιου ο Νικομήδης κατασκεύασε και ένα όργανο, αντίστοιχο του διαβήτη, που διευκόλυνε τη χάραξη της κογχοειδούς.

Η νέα καμπύλη, μαζί με την τετραγωνίζουσα του Ιππία, τις κωνικές τομές του Απολλώνιου, τις έλικες του Αρχιμήδη, την κισσοειδή του Διοκλή κ.α. δημιουργούν εξαιρετικά εργαλεία που εμπλουτίζουν το Ευκλείδιο οικοδόμημα,υπάρχουν όμως και ενστάσεις. Η ύπαρξη της περιφέρειας εξασφαλίζεται από το 3^ο αξίωμα των στοιχείων του Ευκλείδη

και παντί κέντρω και διαστήματι κύκλον γράφεσθαι

μπορούμε δηλαδή να γράψουμε έναν κύκλο με οποιοδήποτε κέντρο και οποιαδήποτε ακτίνα, ενώ οι υπόλοιπες καμπύλες δεν προβλέπονται στο αξιωματικό σύστημα της Ευκλείδιας γεωμετρίας.

Το γεγονός αυτό αρχίζει να διαχωρίζει τους μαθηματικούς. Αλλοι χρησιμοποιούν εκτεταμένα τις καινούργιες καμπύλες ενώ άλλοι παραμένουν επιφυλακτικοί.

Ετσι, τον 4^ο μΧ αιώνα ο Πάππος διαχωρίζει τα προβλήματα σε επίπεδα, που λύνονται με χρήση ευθειών και περιφερειών, στερεά, που απαιτούν κωνικές τομές και γραμμικά, που λύνουν γραμμές

«ποικιλοτέραν έχουσαι την γένεσιν και βεβιασμένην μάλλον, εξ ατακτοτέρων επιφανειών και κινήσεων επιπεπλεγμένων γεννώμεναι»

Η κορύφωση των ενστάσεων βρίσκεται στο τέλος της ίδιας παραγράφου του Πάππου

«δοκεί δε πως αμάρτημα το τοιούτον ου μικρόν είναι τοις γεωμέτραις»

Αντιλαμβάνεται κανείς την ιδιαίτερη σημασία της λέξης αμάρτημα, ο Πάππος γράφει τον 4^ο μΧ αιώνα και η λέξη έχει αποκτήσει εντελώς διαφορετικό νόημα, μετά της εξαντλητική της χρήση από τα κείμενα της Καινής Διαθήκης. Από την άλλη, η Συναγωγή του Πάππου είναι το τελευταίο βιβλίο της αρχαιοελληνικής παράδοσης, μετά από αυτό ξεκινάει ο μεσαίωνας και θα περάσουν χίλια χρόνια μέχρι να αρχίσουν οι πιο τολμηροί να ξαναχρησιμοποιούν τις παράξενες και αμαρτωλές καμπύλες.

Φωτεινό παράδειγμα  αποτελεί ο μεγάλος μαθηματικός François Viète, που έχει στο βιβλίο του Supplementum geometriae (1593) ειδική αναφορά στην κογχοειδή του Νικομήδη και τη χρήση της, για να ακολουθήσουν σύντομα ο  Johann Molther, στο βιβλίο του για το Δήλιο πρόβλημα Problema deliacum (1619), o Descartes, o Fermat, o Roberval, o Huygens και τελικά ο Isaac Newton, o οποίος στο βιβλίο του Arithmetica universalis θεωρεί την κογχοειδή θεμελιώδη καμπύλη τηε γεωμετρίας.

"Ελπίζω να μην κατηγορηθώ αν, μαζί με τον πρίγκηπα των μαθηματικών Αρχιμήδη και άλλους αρχαίους, χρησιμοποιήσω την κογχοειδή για κατασκευές σε προβλήματα", γράφει χαρακτηριστικά ο Newton.

Πενήντα χρόνια μετά, τo 1746, η Ιταλίδα καθηγήτρια των μαθηματικών   Maria Gaetana Agnesi τυπώνει το βιβλίο της Instituzioni Analitiche στο οποίο περιλαμβάνει μία καμπύλη παρεμφερή της κογχοειδούς του Νικομήδη, μελετημένη ήδη από τον Fermat και τον Grandi, την οποία ο τελευταίος, λόγω σχήματος, είχε ονομάσει La versiera, (από το λατινικό versoria),

που σημαίνει το σκοινί που ρυθμίζει την κλίση του κύριου πανιού στα ιστιοφόρα (σκότα).

To 1760 ο διαπρεπής Αγγλος μαθηματικός John Colson μεταφράζει το βιβλίο της Agnesi και, αντί La versiera διαβάζει L’ aversiera, που σημαίνει γυναίκα-διάβολος και ονομάζει την καμπύλη The Witch, η μάγισα !!

Η ονομασία περνάει στη αγγλόφωνη βιβλιογραφία, κανείς δεν αμφισβητεί έναν Lucasian Professor του Cambridge, το βιβλίο της Agnesi γίνεται πασίγνωστο και επαναλαμβάνεται, μετά από πολλούς αιώνες, ο θόρυβος για τις παράξενες αυτές καμπύλες και τις μυστήριες ιδιότητές τους.

Οσο κι αν το μύδι έδωσε την ονομασία, η πανάρχαια Limulida κλέβει την παράσταση, έχει την τελειότερη κογχοειδή που είδα .
Kαι μία versiera εκ του φυσικού, την ώρα που ο Γιάννης Μπιμπίρης δαμάζει ένα καινούργιο πουλάρι !!