Ο Θαλής [624-545 πΧ], ένας δραστήριος έμπορος από τη Μίλητο, ταξίδευε συχνά για δουλειές στη Μεσοποταμία και στην Αίγυπτο και είδε με μεγάλο ενδιαφέρον την ανάπτυξη που είχαν σ' αυτές τις περιοχές η Φιλοσοφία, τα Μαθηματικά και η Αστρονομία.
Αρχισε σιγά σιγά να διαμορφώνει τις δικές του απόψεις για την προέλευση και τις ιδιότητες αυτού του κόσμου και να αφαιρεί τα μυθολογικά στοιχεία που επικρατούσαν στον Ελληνικό χώρο, με κύριο εκφραστή τον Ησίοδο από τον 8ο αιώνα [Θεογονία, Εργα και Ημέραι]
Οι σοφοί Χαλδαίοι και οι Αιγύπτιοι είχαν ασχοληθεί πάνω από 2000 χρόνια με την αστρονομία και τη γεωμετρία και είχαν τεράστια αρχεία παρατηρήσεων, που τους έδειχναν μία επανάληψη, μία περιοδικότητα στην εμφάνιση του ήλιου, της σελήνης και των αστεριών. Αυτό τους επέτρεπε να κάνουν προβλέψεις, πχ μιας επόμενης έκλειψης ηλίου, στηριγμένοι στην επανάληψη που παρουσίαζαν τα κατάστιχά τους, είχαν δηλαδή, όπως θα λέγαμε σε σύγχρονη γλώσσα, μία τράπεζα δεδομένων που πήγαινε προς τα πίσω σε μεγάλο βάθος χρόνου. Στη γεωμετρία αντίστοιχα είχαν μεγάλους καταλόγους από διάφορα πχ ορθογώνια τρίγωνα, που οι πλευρές τους παρουσίαζαν μια παράξενη ιδιότητα, το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών να είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας.
Η καινοτομία στη σκέψη του Θαλή ήταν πως όλες αυτές οι παρατηρήσεις απορρέουν από κάποιες ιδιότητες που έχουν, για παράδειγμα, ΟΛΑ τα ορθογώνια τρίγωνα και όχι μόνο αυτά που είχαν στα ατέλειωτα αρχεία τους οι σοφοί Χαλδαίοι και Αιγύπτιοι. Ετσι γεννήθηκε η καινοτόμα ιδέα των θεωρημάτων και, προκειμένου να πείσει τους γύρω του, η ιδέα της απόδειξης. Η χαρά της ανακάλυψης τέτοιων ιδιοτήτων ήταν μεγάλη, η παράδοση λέει ότι όταν ανακάλυψε ότι κάθε γωνία που τελειώνει στη διάμετρο ενός κύκλου είναι ορθή, θυσίασε ένα βόδι, όπως μας πληροφορεί ο Διογένης ο Λαέρτιος.
Η ποιοτική διαφορά στη σκέψη του Θαλή ήταν πως η ιδιότητα αυτή ισχύει για ΚΑΘΕ γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο, όχι μόνο για κάποιες συγκεκριμμένες περιπτώσεις τριγώνων με γωνίες 30 ή 45 ή 60 μοιρών.
Η ιδιότητα της αποκοπής ανάλογων τμημάτων από παράλληλες ευθείες ισχύει για ΟΛΕΣ τις παράλληλες και όχι μόνο για συγκεκριμμένες περιπτώσεις.
AD/DB = AE/EC
Τα "πρωτόγονα" θεωρήματα του Θαλή δοκιμάζονται στο χρόνο και αποκτούν περίοπτη θέση 300 χρόνια αργότερα στα Στοιχεία του Ευκλείδη, που ανοίγει το δρόμο στους μεταγενέστερους μελετητές.
ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΧΟΤΟΜΟΥ
Στο 6ο βιβλίο, πρόταση 3 των Στοιχείων του Ευκλείδη συναντάμε το πολύ ενδιαφέρον θεώρημα της διχοτόμου.
Η στιλπνή απόδειξη του Ευκλείδη στηρίζεται στο "πρωτόγονο" θεώρημα του Θαλή. Αν φέρουμε από το Β την ΒΕ παράλληλη στη διχοτόμο ΑΔ, τότε
BD/DC = AE/AC
και, επειδή ΑΒ = ΑΕ
BD/DC = AB/AC
ο. ε. δ.
Πενήντα χρόνια αργότερα ο ρηξικέλευθος Αρίσταρχος φαντάζεται ένα τεράστιο ορθογώνιο τρίγωνο με κορυφές τη γη, τη σελήνη και τον ήλιο, την ώρα που η σελήνη φαίνεται φωτισμένη η μισή. Σε αυτό το σχηματισμό ο Αρίσταρχος θέλει να υπολογίσει τη σχέση των αποστάσεων της γης από τον ήλιο και τη σελήνη.
Στην εντυπωσιακή απόδειξη των συλλογισμών του, σε κάποιο κρίσιμο σημείο θέλει να βρει τον λόγο FG/GE. Η BG όμως έχει φτιαχτεί σαν διχοτόμος της γωνίας EBF, άρα, από το θεώρημα της διχοτόμου FG/GE = FB/BΕ. Αυτός ο τελευταίος λόγος όμως δεν είναι τίποτα άλλο από τον λόγο της διαγωνίου τετραγώνου προς την πλευρά, ο θρυλικός ασύμμετρος τετραγωνική ρίζα του 2.
Η ιδέες του Θαλή είναι εδώ, οι ιδιότητες ισχύουν και για τέτοια τεράστια τρίγωνα στο σύμπαν, η πρόταση 6.3 του Ευκλείδη ισχύει και για αυτή τη διαστημική διχοτόμο και, όποιος αμφιβάλλει, ο Θαλής είναι καλά κρυμμένος πίσω απ' την απόδειξη των διχοτόμων του κόσμου.
