19 Νοε 2013

Ο Seneca, ο Kepler και οι κομήτες



Ο Kepler το 1619 κυκλοφορεί το βιβλίο του DE COMETIS LIBELLI TRES. Κάτω από τους τίτλους υπάρχει μία φράση από τον Ρωμαίο φιλόσοφο και ποιητή Seneca του 1ου αιώνα μΧ, παρμένη από το βιβλίο του NATURALIUM QUAESTIONUM.

Τι έκανε όμως τον Kepler να ανατρέξει σε αυτό το κείμενο ;;
Ας δούμε λίγο την προϊστορία στα γραφόμενα για τους κομήτες. Από το ξεκίνημα της παρατήρησης του ουρανού όλα στηρίχτηκαν στην επανάληψη. Ο ήλιος, η σελήνη, τα κοντινά αστέρια αλλά και οι μακρινοί αστερισμοί είχαν μια περιοδικότητα, αύριο ή σε 15 μέρες ή σε 5 χρόνια θα ήταν πάλι στην ίδια θέση και θα έκαναν την ίδια διαδρομή. Αυτή η σιγουριά έκανε τους παρατηρητές του ουρανού να ξεθαρρέψουν, να δώσουν ονόματα στα αστέρια και να φανταστούν σχήματα στους αστερισμούς, ζυγός, τοξότης, κριός, ψάρια, φίδια κλπ. 


Και εκεί που έμπαιναν τα πράγματα σε τάξη, εμφανιζόταν ξαφνικά ένας κομήτης, έκανε έντονη την παρουσία του στο νυχτερινό στερέωμα, είχε και ουρά, έγραφε κάποια άγνωστη και απρόβλεπτη διαδρομή για λίγες νύχτες και μετά εξαφανιζόταν. Οι αστρολόγοι στα παλάτια της Βαβυλώνας και στους ναούς του Αμόν Ρα είχαν οριστική δυσκολία, το μόνο που ήξεραν είναι ότι κάτι τέτοιο είχε συμβεί ξανά στο παρελθόν, αλλά χωρίς κανένα στοιχείο ταυτοποίησης και πιθανής περιοδικότητας. Ετσι, κατ' ανάγκην, οι κομήτες συνδέθηκαν με κάτι κακό που θα συνέβαινε, κάποιο μήνυμα εξ ουρανού για επικείμενες καταστροφές.
Οι πρώτοι υλιστές φιλόσοφοι προσπάθησαν να ερμηνεύσουν τη δημιουργία των κομητών σαν αποτέλεσμα προσέγγισης δύο άστρων [Δημόκριτος-Αναξαγόρας]. Αμέσως μετά έρχεται η καθοριστική τοποθέτηση του Αριστοτέλη:Οι κομήτες είναι ατμοσφαιρικά φαινόμενα, τοπικές εξατμίσεις ή αναθυμιάσεις που συνδέονται με επικείμενες αλλαγές του καιρού, ξηρασίες, ίσως και σεισμούς κλπ. Το κύρος και η αυθεντία του μεγάλου Σταγειρίτη φιλόσοφου δημιούργησε ανυπέρβλητα εμπόδια στα θέματα που έκανε λάθος, ιδιαίτερα όταν η τεκμηρίωση ήταν φτωχή σε δεδομένα. Ετσι φτάνουμε στον 1ο μΧ αιώνα χωρίς καμμιά ιδιαίτερη συνεισφορά στη λύση του μυστηρίου των κομητών.
Η παρέμβαση του μεγάλου φιλόσοφου, ιστορικού και ποιητή Lucius Annaeus Seneca είναι κατ' αρχήν παράξενη. Παρ' ότι δεν είναι μαθηματικός ή αστρονόμος, στο βιβλίο του Naturalium Quaestionum ασχολείται με τους κομήτες, κάνει πολύ προσεκτική κριτική στον Αριστοτέλη και σε όσους ασχολήθηκαν με το θέμα (Επιγένης, Απολλώνιος κλπ), δεν είναι ικανοποιημένος με τις απόψεις τους, αλλά δεν είναι σε θέση να προτείνει καινούργιες θεωρίες και πολύ περισσότερο να τις τεκμηριώσει.


Ετσι καταλήγει σε μια εξαιρετικά ποιητική αλλά και προφητική παράγραφο

“Κάποια μέρα όλα αυτά τα άγνωστα σε μας θα ξεκαθαρίσουν. Ισως μια γενιά δεν φτάνει για να διερευνηθούν τόσο σπουδαία θέματα. Οι άνθρωποι στο μέλλον θα αναρωτιούνται πώς δεν καταφέραμε να διαλευκάνουμε τόσο απλά και θεμελιώδη ζητήματα. Θάρθουν όμως κάποιοι στο μέλλον και θα μας εξηγήσουν από ποιές περιοχές του σύμπαντος έρχονται οι κομήτες, γιατί είναι τόσο μακριά από τους άλλους πλανήτες, πόσο μεγάλοι είναι και από τι υλικά αποτελούνται.”

Η τοποθέτηση βέβαια αυτή δεν αποτελεί κίνητρο για τους φιλοσόφους, μαθηματικούς και αστρονόμους, είναι και η αντιπαράθεση προς τον Αριστοτέλη όλο και πιο δύσκολη, οι φιλοσοφικές σχολές σιγά σιγά κλείνουν, ο μεσαίωνας έρχεται, οι κομήτες όμως συνεχίζουν να εμφανίζονται απροειδοποίητα και να συνδέονται όλο και πιο πολύ με καταστροφές, είναι η οργή των ουρανών που πέφτει στο κεφάλι των αμαρτωλών.
Από τις επιγραφές στα μάρμαρα της Πάρου, 3ος αι. πΧ

τις αφηγήσεις του Διόδωρου του Σικελιώτη, 2ος αι. πΧ




την πτώση της Κορίνθου το 146 πΧ



μέχρι τις δραματικές περιγραφές του Venerable Bede, τον 7ο αι. μΧ

οι κομήτες δίνουν ευκαιρίες για διασπορά πανικού.
Καταλαβαίνει λοιπόν κανείς πόσο δύσκολο ήταν να αρχίσουν κάποιοι αστρονόμοι να διατυπώνουν ορθολογιστικές θεωρίες για την προέλευση των κομητών. Πρωτοπόροι ήταν ο Paolo Dal Pozzo Toscanelli (1397-1482),

ο Girolamo Fracastoro (1483-1553), στα Homocentrica, 1538, που πρώτος διατύπωσε την άποψη ότι η ουρά του κομήτη έχει την διεύθυνση της ευθείας που ενώνει τον κομήτη με τον ήλιο 


και ο Pietro Apiano (1495-1552) στο Astronomicum Caesarum (1540)



Ο Apiano ειδικά, εκτός από μαθηματικός και αστρονόμος ήταν και τυπογράφος, είχε δικό του τυπογραφείο και έτσι παρουσίασε τυποτεχνικά αριστουργήματα που σίγουρα έδιναν έμφαση στις καινούργιες μελέτες.
Ετσι ο Kepler, έχοντας ήδη την ηλιοκεντρική θεωρία του Κοπέρνικου και τις εκπληκτικής ακρίβειας μετρήσεις του Tycho Brahe, αρχίζει να σχεδιάζει τους νόμους της κίνησης των πλανητών και να αναρωτιέται για τις αιτίες. Μέσα σε αυτά διατυπώνει πρώτος την άποψη ότι η ουρά των κομητών οφείλεται στην επίδραση της ηλιακής ακτινοβολίας


Σε όλα αυτά τα τολμηρά, αναζητώντας στηρίγματα στο παρελθόν, βρίσκει μόνο τον Seneca και έτσι παραθέτει το απόσπασμα στο βιβλίο του.
Η γκραβούρα που ακολουθεί δείχνει καθαρά τη διαμάχη των αστρονόμων, που χωρίζονται σ' αυτούς που επιμένουν Αριστοτελικά ότι οι κομήτες είναι ατμοσφαιρικά φαινόμενα [αριστερά], ότι κινούνται σε καμπύλες τροχιές όπως οι πλανήτες [κέντρο] ή ότι κινούνται σε ανεξάρτητες ευθύγραμμες τροχιές [δεξιά].



Η προεργασία όμως έχει γίνει, σύντομα εμφανίζεται το κορυφαίο έργο του Newton Principia Mathematica [1687], το σύμπαν αποκτάει πλέον νόμους ξεκάθαρους



και οι πειραματικές αποδείξεις πέφτουν βροχή, όπως η παραβολική τροχιά του κομήτη του 1680, με μετρήσεις του ίδιου του Newton.


Σήμερα ξέρουμε πολύ περισσότερα για τους κομήτες, τη σύσταση, την προέλευση, την τροχιά και την επανεμφάνισή τους, ο φόβος όμως του μέσου ανθρώπου δεν έχει εκλείψει και ίσως δεν θα εκλείψει ποτέ για αυτούς τους παράξενους ταξιδιώτες της νύχτας.


8 Νοε 2013

Ο Διονυσόδωρος κατέβηκε στο κέντρο της γης




Ο Διονυσόδωρος ήταν σημαντικός μαθηματικός του 2ου πΧ αιώνα. Ο Ευτόκιος αναφέρει με λεπτομέρειες τη λύση στο πρόβλημα του Αρχιμήδη να χωριστεί μία σφαίρα από ένα επίπεδο σε δύο κομμάτια με δοσμένο λόγο, που αλγεβρικά οδηγεί σε εξίσωση 3ου βαθμού.
Για την καταγωγή του υπάρχουν πολλές εκδοχές.
Ο Στράβων τοποθετεί την καταγωγή του στην Αμισό του Πόντου και τον διαχωρίζει από άλλον Διονυσόδωρο από τη Μήλο
 
Strabo (XII, 3,16)

Στον Πλίνιο διαβάζουμε ότι ήταν από την Κύθνο ή από τη Μήλο, ενώ στον πάπυρο 1044 που βρέθηκε στο Herculaneum μαθαίνουμε ότι ήταν δάσκαλος του Φιλωνίδη

ΦΙΛΩΝΙΔΗΣΗΚΟΥΣΕΜΕΝΕΥΔΗΜΟΥΠΡΩΤΟΝΜΕΤΑΔΕΔΙΟΝΥΣΟΔΩΡΟΥ

και καταγόταν από την Καύνα της Μικράς Ασίας.




Ο Πλίνιος, τον 1ο μΧ αιώνα, στη Φυσική του Ιστορία μας δίνει μια από τις πιο απίθανες ιστορίες στο περιθώριο των επιστημών.
Ο Διονυσόδωρος έζησε μέχρι βαθειά γεράματα και πέθανε στην πατρίδα του. Οι γυναίκες που τον έθαψαν πήγαν μετά από λίγες μέρες να βάλουν μύρα και βρήκαν μια επιστολή του Διονυσόδωρου που έγραφε "Τώρα που πέθανα, κατέβηκα μέχρι το κέντρο της γής και μέτρησα την ακτίνα της 42000 στάδια και σας βεβαιώνω χωρίς να χρειαστεί να συμβουλευτείτε γεωμέτρες πως η περιφέρεια της γης είναι 252000 στάδια".
Ηταν τόσο μεγάλη η εντύπωση που είχε προκαλέσει η μέτρηση του Ερατοσθένη, που κάθε μαθηματικός ήθελε να παρουσιάσει μια δικιά του θεωρία, ακόμα και ταξιδεύοντας στο κέντρο της γης.

3 Νοε 2013

Η "μαγική" κογχοειδής



Ο Νικομήδης, στα μέσα του 3ου πΧ αιώνα, ανακλύπτει την κογχοειδή καμπύλη και λύνει το πρόβλημα της τριχοτόμησης μιας γωνίας και του διπλασιασμού του κύβου, δύο από τα τρία άλυτα προβλήματα της Ευκλείδιας γεωμετρίας.


Σε μια περιφέρεια κέντρου Α και ακτίνας ΑΒ, το Α μένει σταθερό ενώ το Β κινείται με περιορισμό να απέχει σταθερή απόσταση R = AB από το Α.
Στην κογχοειδή το ΑΒ είναι πάλι σταθερό αλλά το Α ολισθαίνει πάνω σε μια ευθεία.
Η ονομασία της νέας καμπύλης προκύπτει από τις αρχαιοελληνικές λέξεις κόγχος ή κόγχη, που σημαίνουν μύδι.
Κατά τις μαρτυρίες του Πάππου και του Ευτόκιου ο Νικομήδης κατασκεύασε και ένα όργανο, αντίστοιχο του διαβήτη, που διευκόλυνε τη χάραξη της κογχοειδούς.



Η νέα καμπύλη, μαζί με την τετραγωνίζουσα του Ιππία, τις κωνικές τομές του Απολλώνιου, τις έλικες του Αρχιμήδη, την κισσοειδή του Διοκλή κ.α. δημιουργούν εξαιρετικά εργαλεία που εμπλουτίζουν το Ευκλείδιο οικοδόμημα,υπάρχουν όμως και ενστάσεις. Η ύπαρξη της περιφέρειας εξασφαλίζεται από το 3ο αξίωμα των στοιχείων του Ευκλείδη

και παντί κέντρω και διαστήματι κύκλον γράφεσθαι

μπορούμε δηλαδή να γράψουμε έναν κύκλο με οποιοδήποτε κέντρο και οποιαδήποτε ακτίνα, ενώ οι υπόλοιπες καμπύλες δεν προβλέπονται στο αξιωματικό σύστημα της Ευκλείδιας γεωμετρίας.

Το γεγονός αυτό αρχίζει να διαχωρίζει τους μαθηματικούς. Αλλοι χρησιμοποιούν εκτεταμένα τις καινούργιες καμπύλες ενώ άλλοι παραμένουν επιφυλακτικοί.



Ετσι, τον 4ο μΧ αιώνα ο Πάππος διαχωρίζει τα προβλήματα σε επίπεδα, που λύνονται με χρήση ευθειών και περιφερειών, στερεά, που απαιτούν κωνικές τομές και γραμμικά, που λύνουν γραμμές

«ποικιλοτέραν έχουσαι την γένεσιν και βεβιασμένην μάλλον, εξ ατακτοτέρων επιφανειών και κινήσεων επιπεπλεγμένων γεννώμεναι»

Η κορύφωση των ενστάσεων βρίσκεται στο τέλος της ίδιας παραγράφου του Πάππου

«δοκεί δε πως αμάρτημα το τοιούτον ου μικρόν είναι τοις γεωμέτραις»

Αντιλαμβάνεται κανείς την ιδιαίτερη σημασία της λέξης αμάρτημα, ο Πάππος γράφει τον 4ο μΧ αιώνα και η λέξη έχει αποκτήσει εντελώς διαφορετικό νόημα, μετά της εξαντλητική της χρήση από τα κείμενα της Καινής Διαθήκης. Από την άλλη, η Συναγωγή του Πάππου είναι το τελευταίο βιβλίο της αρχαιοελληνικής παράδοσης, μετά από αυτό ξεκινάει ο μεσαίωνας και θα περάσουν χίλια χρόνια μέχρι να αρχίσουν οι πιο τολμηροί να ξαναχρησιμοποιούν τις παράξενες και αμαρτωλές καμπύλες.





Φωτεινό παράδειγμα  αποτελεί ο μεγάλος μαθηματικός François Viète, που έχει στο βιβλίο του Supplementum geometriae (1593) ειδική αναφορά στην κογχοειδή του Νικομήδη και τη χρήση της, για να ακολουθήσουν σύντομα ο  Johann Molther, στο βιβλίο του για το Δήλιο πρόβλημα Problema deliacum (1619), o Descartes, o Fermat, o Roberval, o Huygens και τελικά ο Isaac Newton, o οποίος στο βιβλίο του Arithmetica universalis θεωρεί την κογχοειδή θεμελιώδη καμπύλη τηε γεωμετρίας.




"Ελπίζω να μην κατηγορηθώ αν, μαζί με τον πρίγκηπα των μαθηματικών Αρχιμήδη και άλλους αρχαίους, χρησιμοποιήσω την κογχοειδή για κατασκευές σε προβλήματα", γράφει χαρακτηριστικά ο Newton.




Πενήντα χρόνια μετά, τo 1746, η Ιταλίδα καθηγήτρια των μαθηματικών   Maria Gaetana Agnesi τυπώνει το βιβλίο της Instituzioni Analitiche στο οποίο περιλαμβάνει μία καμπύλη παρεμφερή της κογχοειδούς του Νικομήδη, μελετημένη ήδη από τον Fermat και τον Grandi, την οποία ο τελευταίος, λόγω σχήματος, είχε ονομάσει La versiera, (από το λατινικό versoria),



που σημαίνει το σκοινί που ρυθμίζει την κλίση του κύριου πανιού στα ιστιοφόρα (σκότα).




To 1760 ο διαπρεπής Αγγλος μαθηματικός John Colson μεταφράζει το βιβλίο της Agnesi και, αντί La versiera διαβάζει Laversiera, που σημαίνει γυναίκα-διάβολος και ονομάζει την καμπύλη The Witch, η μάγισα !!
Η ονομασία περνάει στη αγγλόφωνη βιβλιογραφία, κανείς δεν αμφισβητεί έναν Lucasian Professor του Cambridge, το βιβλίο της Agnesi γίνεται πασίγνωστο και επαναλαμβάνεται, μετά από πολλούς αιώνες, ο θόρυβος για τις παράξενες αυτές καμπύλες και τις μυστήριες ιδιότητές τους.



Οσο κι αν το μύδι έδωσε την ονομασία, η πανάρχαια Limulida κλέβει την παράσταση, έχει την τελειότερη κογχοειδή που είδα .
Kαι μία versiera εκ του φυσικού, την ώρα που ο Γιάννης Μπιμπίρης δαμάζει ένα καινούργιο πουλάρι !!