26 Οκτ 2013

Οι έλικες του Αρχιμήδη

[Aπό την μετάφραση του Ε. Σταμάτη]

Ο Αρχιμήδης, συνεχίζοντας τον 2ο πΧ αιώνα τις μελέτες του Κόνωνα, αναπτύσσει στην επιστολή του προς τον Δοσίθεο τις ιδιότητες της έλικας.
Αν μια ακτίνα ΟΑ στρέφεται γύρω από το Ο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα και ταυτόχρονα το Α απομακρύνεται από το Ο με σταθερή ταχύτητα, τότε το Α γράφει μία καμπύλη που ονομάζεται έλιξ.







Η καμπύλη αυτή έχει μία συναρπαστική ιδιότητα. Μετά από μία πλήρη περιστροφή η εφαπτομένη στο Α τέμνει τον οριζόντιο άξονα στο Τ και το μήκος ΟΤ ισούται με το μήκος της περιφέρειας ΟΑ, δηλαδή έχουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ίσο με το άγνωστο μήκος μιας περιφέρειας, άρα ανοίγει ο δρόμος του τετραγωνισμού του κύκλου, που ήταν ένα από τα τρία άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας !!
Η απόδειξη δεν είναι εύκολη αλλά ο Αρχιμήδης, χρησιμοποιώντας την υπέροχη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο, αποδεικνύει ότι το ΟΤ δεν μπορεί να είναι ούτε μεγαλύτερο ούτε μικρότερο από το μήκος της περιφέρειας, άρα θα είναι ίσο.



Ο Πάππος, τον 4ο μΧ αιώνα, στο βιβλίο του Συναγωγή κάνει ιδιαίτερη αναφορά στις εργασίες του Αρχιμήδη για την έλικα και αφήνει μία παρακαταθήκη να ζήσει χίλα σκοτεινά χρόνια του μεσαίωνα μέχρι να αρχίσουν οι μαθηματικοί και οι φιλόσοφοι να ανακαλύπτουν ξανά το νήμα των αρχαιοελληνικών μαθηματικών.
Η δουλειά αυτή κάθε άλλο παρά εύκολη είναι. Υπάρχουν πολλά χειρόγραφα βιβλία, αντίγραφα των παλαιών πρωτοτύπων, υπάρχουν λάθη σε γράμματα, λέξεις, φράσεις ακόμα και νοηματικά σφάλματα.





Ενα μικρό παράδειγμα δίνει η επιστολή του John Wallis τον Νοέμβρη του 1671 που αναφέρεται στις έλικες του Αρχιμήδη, στην οποία φαίνεται η θαυμαστή γνώση αρχαίων Ελληνικών, μοναδική προϋπόθεση και εργαλείο όλων αυτών που πήραν την υπόθεση της αναγέννησης στα σοβαρά.

13 Οκτ 2013

Οι άκρες του κόσμου

Οι άνθρωποι σχεδίαζαν χάρτες πριν καλά καλά αρχίσουν να γράφουν. Υπάρχουν κεραμικά πλακίδια από την 3η χιλιετία πΧ με απεικόνιση πόλεων και σιγά σιγά μεγαλύτερων περιοχών.



Στον Ελληνικό χώρο πρώτος ο Αναξίμανδρος «ετόλμησε την οικουμένην εν πίνακι γράψαι»





Με την αύξηση των γνώσεων για το μέγεθος της σφαιρικής γης και τι; λεπτομερείς περιγραφές των θαλασσίων ταξιδιών χαρτογραφείται ο τότε γνωστός κόσμος και αρχίζει από τον Ερατοσθένη και τον Ιππαρχο [3ο – 2ο αιώνα πΧ] η τοποθέτηση οριζόντιων και κατακόρυφων διαχωριστικών γραμμών,





ενώ τον 1ο αιώνα ο Κράτης προτείνει το διαχωρισμό της σφαίρας σε ζώνες.





Ο Μαρίνος από την Τύρο, τον 1ο μΧ αιώνα, φτιάχνει το πρώτο μαθηματικό μοντέλο χάρτη, εισάγοντας παραλλήλους και μεσημβρινούς.
Τα όρια του κόσμου είναι η νήσος των Μακάρων ανατολικά [Κανάρια νησιά, Αζόρες],





τα Καττίγαρα δυτικά [ίσως το Hanoi],






η Θούλη βόρεια και η Αγίσυμβα νότια [Μοζαμβίκη]. Υπάρχουν 15 μεσημβρινοί άτρακτοι που ξαθορίζουν το γεωγραφικό μήκος και παράλληλοι για το γεωγραφικό πλάτος.









Ο Πτολεμαίος ακολουθεί τη χαρτογράφηση του Μαρίνου, διορθώνει κάποια λάθη και δίνει στο έργο του «Γεωγραφική Υφήγησις» αναλυτικές συντεταγμένες για κάθε γνωστή πόλη, αφήνοντας από τον 2ο μΧ αιώνα ένα αξεπέραστο έργο που θα αντέξει όλο το σκοτάδι του μεσαίωνα, τα έξαλλα πισωγυρίσματα στις «θεωρίες» της επίπεδης γης, μέχρι το 1570 μΧ, που ο Mercator επαναφέρει τις χαρτογραφικές προβολές του Μαρίνου και γεφυρώνει το κενό 14 αιώνων, ανοίγοντα ξανά το δρόμο της μαθηματικής χαρτογραφίας.
Ο Μέντης Μποσταντζόγλου [Μποστ] πιστός στις παραδόσεις, επαναφέρει με τον μοναδικό του τρόπο τη νήσο των Αζορών στο επίκεντρο των εξελίξεων.


7 Οκτ 2013

Η ακολουθία του Fibonacci

Ο Leonardo Pisano γεννήθηκε γύρω στο 1170 μΧ. Ηταν γιος του Guglielmo Bonacci, απ’ όπου ίσως πήρε και το όνομα Fibonacci [filius Bonacci].



O πατέρας του είχε εμπορικές δουλειές στο λιμάνι της Bugia στην σημερινή Αλγερία και εκεί ο Leonardo μαθήτευσε σε Αραβες δασκάλους και έμαθε το Ινδο-Αραβικό σύστημα της δεκαδικής αρίθμησης (modus Indorum), που παρουσίασε το 1202 στο βιβλίο του Liber Abacci.



Ηταν πολύ πιο αποτελεσματικό να γράφει κανείς 1849 αντί του Ρωμαικού ΜDCCCXLIX και όλοι οι υπολογισμοί των πρακτικών προβλημάτων μπορούσαν να γίνουν πιο κατανοητοί.
Στο βιβλίο αυτό είχε συμπεριλάβει, μεταξύ άλλων και το πρόβλημα με τα κουνέλια..



«Ενας άνθρωπος βάζει σε ένα περιφραγμένο αγρό ένα ζευγάρι κουνέλια. Αν χρειάζονται ένα μήνα για να ζευγαρώσουν και ένα ακόμη μήνα για να γεννήσουν το επόμενο ζευγάρι, πόσα κουνέλια θα υπάρχουν σε ένα χρόνο ;»
Η λύση του προβλήματος είναι η περιβόητη ακολουθία Fibonacci, που απέκτησε τεράστια φήμη και πάμπολλες εφαρμογές.

1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...

όπου κάθε όρος είναι άθροισμα των δύο προηγουμένων
Fn+1 = Fn  + F n-1
Αυτή είναι η σειρά των αριθμών για ένα χρόνο και, όπως καταλήγει, μπορεί να συνεχιστεί επ’ άπειρον [et sic posses facere per ordinem de infinitis numeris mensibus].
To πρόβλημα βέβαια αυτό υπάρχει σε Ινδικά βιβλία από τον 6ο αι. μΧ. και ιδιαίτερα στα βιβλία του Gopāla (1135 μΧ) και του Hemachandra (1150 μΧ), όταν περιγράφουν τους προσωδιακούς συνδυασμούς ρυθμών και συλλαβών [mātrā-vttas] και είναι πολύ πιθανό να το διδάχτηκε ο Fibonacci στην Αλγερία.








Η γεωμετρική παράσταση της ακολουθίας είναι η λογαριθμκή σπείρα, ο λόγος δύο διαδοχικών όρων είναι η χρυσή τομή 1,618..., τα φύλλα των δένδρων φυτρώνουν με αυτή τη διάταξη για να παίρνουν περισσότερο ήλιο, τα λουλούδια, τα κοχύλια, οι τυφώνες μέχρι και οι μακρινοί γαλαξίες έχουν στη διάταξή τους τη δομή της ακολουθίας του 32χρονου Leonardo από την Pisa, που μέσα στον μαύρο μεσαίωνα άνοιξε δυναμικά και οριστικά το δρόμο για την αναγέννηση.


5 Οκτ 2013

Ο Marco Polo και το εκατομμύριο

Οι λέξεις που χρησιμοποιούσαν στην αρχαιότητα για τους αριθμούς έφταναν μέχρι το μύριος, που αντιστοιχούσε στο 10.000.
Σε θεωρητικά και πρακτικά προβλήματα σπάνια χρειαζόταν κάτι μεγαλύτερο. Εξαίρεση αποτελεί ο υπολογισμός των κόκκων της άμμου που θα γέμιζε το σύμπαν, που υπολογίζει ο Αρχιμήδης στο έργο του Ψαμμίτης. Ο αριθμός είναι τεράστιος, 1063, αλλά περιγράφεται με ένα αριθμητικό σύστημα που βασίζεται στη μυριάδα.



Τον 13ο αιώνα μΧ ο μοναχός Μάξιμος Πλανούδης μεταφέρει για πρώτη φορά στη δύση τη δεκαδική γραφή των Ινδών στο έργο του «Ψηφοφορία κατ’ Ινδούς η λεγομένη μεγάλη» . Εκεί το έβδομο από δεξιά ψηφίο ενός αριθμού αντιστοιχεί σε εκατομμύρια. Βέβαια ο Πλανούδης χρησιμοποιεί ακόμα την αρχαιοελληνική ορολογία και το ονομάζει ψηφίο των εκατονταδικών μυριάδων  .
Το βιβλίο του Πλανούδη έχει εξαιρετικό ενδιαφέρον, μεταφράζεται στα Λατινικά και τα Ιταλικά και εκεί υπάρχει έτοιμη η λέξη από το βιβλίο του Marco Polo Il Milione”, που περιγράφει τα μαγικά του ταξίδια στην ανατολή.



Υπάρχουν αρκετές εκδοχές για τον παράξενο αυτό τίτλο. Μία από αυτές λέει πως η οικογένεια του Marco Polo, προκειμένου να διαφοροποιηθεί από τους πολλούς Βενετσιάνους που είχαν το ίδιο όνομα, χρησιμοποιούσε το παρατσούκλι Emilione. Μία άλλη ερμηνεία ίσως είναι πιο πειστική. Ο Marco Polo στις εντυπωσιακές του αφηγήσεις για τους ηγεμόνες της Ανατολικής Ασίας αναφερόταν συχνά στα εκατομμύρια που άξιζε το χρυσάφι που είδε και έτσι του κόλλησαν το Milione στο όνομά του.



(από την έκδοση του 1563)

Σε καθαρά μαθηματικά βιβλία ο όρος μπαίνει από το 1450 αλλά τυποποιείται τρείς αιώνες αργότερα με τη χρήση του στη Γαλλική, Αγγλική και Γερμανική γλώσσα.

 (Από το σχόλιο του Dr. Hermann Waschke στη Γερμανική έκδοση του Πλανούδη του 1878)