31 Οκτ 2012

Φανταστικό !!!

Εκεί γύρω στα τέλη της πΧ περιόδου η Γεωμετρία έχει γνωρίσει πλήρη ανάπτυξη και γίνονται οι πρώτες προσπάθειες δημιουργίας της άλγεβρας. Οι μετρικές σχέσεις μπορούν να συνδέουν αφηρημένους αριθμούς, χωρίς την άμεση σχέση με ευθύγραμμα ή καμπυλόγραμμα σχήματα. Οι αυστηρές απαιτήσεις των γεωμετρικών θεωρημάτων βέβαια είναι βαρειά κληρονομιά και δεν ανατρέπονται εύκολα.
Ο Ηρων ο Αλεξανδρεύς [1ος αι. μΧ] στο βιβλίο του "Στερεομετρικά"* έχει ένα λάθος.




Θέλει να υπολογίσει τον όγκο μιας σπασμένης πυραμίδας (έδώ έχουμε τη χρήση του τεχνικού όρου "κόλουρος"). Η κάτω βάση είναι a=28, η πάνω βάση είναι b=4 και η πλαϊνή ακμή είναι c=15. Για τον υπολογισμό  του χρειάζεται το ύψος h. Κάτι δεν πάει καλά όμως. Η κάθετη πλευρά k είναι ήδη μεγαλύτερη από την υποτείνουσα c.
k2 = x2 + x2 = 2x2 = 2(a-b/2)2 = 288
c2 = 225

Προχωράει όμως τους υπολογισμούς μέχρι που φτάνει στη σχέση
h2 = 81 - 144 = -63
Εχει πια μπροστά του ένα τέλειο τετράγωνο που είναι αρνητικός αριθμός. Στο σημείο αυτό προχωράει τους υπολογισμούς σαν να ήτανε 63 και χάνει την ευκαιρία να μπει στο καινούργιο.
Διακόσια χρόνια αργότερα, ο πατέρας της άλγεβρας Διόφαντος έχει στα Αριθμητικά του κεφ. 6. 24 [ακολουθώ την αρίθμηση του T. L. Heath σ. 236 από την έκδοση του 1885 ] ένα πρόβλημα, η περίμετρος ενός ορθογωνίου τριγώνου να είναι τέλειος κύβος και το άθροισμα περιμέτρου και επιφάνειας να είναι τέλειο τετράγωνο.

Οι υπολογισμοί τον οδηγούν στη λύση της

168x2 – 86x + 12 = 0

Για να έχει "αληθινές" λύσεις αυτή η εξίσωση, πρέπει η παράσταση

862 – 4 * 168 * 12 = -668

να είναι τέλειο τετράγωνο, το οποίο "ου πάντοτε δυνατόν εστιν".
Ετσι φτάνουμε στο 1545 μΧ και την κυκλοφορία του βιβλίου του Gerolamo Cardano "Ars Magna ".


Το εξώφυλλο από την πρώτη έκδοση του βιβλίου.
Το motto γύρω από το σκίτσο του Cardano "ΕΙΣ ΤΟ ΦΕΡΤΕΡΟΝ ΤΙΘΕΙ ΤΟ ΜΕΛΛΟΝ, ΟΤΙ ΓΕΝΉΣΕΤΑΙ" είναι από την Ελένη του Ευρυπίδη (στ. 346), όπου ο χορός προτρέπει την Ελένη «Δες το μέλλον με την πιο αισιόδοξη ματιά, ότι και να γίνει»



Το πρόβλημα ΧΧΧVII με πρώτη ματιά είναι απλό. Ζητάμε δύο αριθμούς με άθροισμα 10 και γινόμενο 40. Ο  Cardano εφαρμόζει τη μέθοδο επίλυσης εξισώσεων 3ου βαθμού που είχε διαμορφώσει, βρίσκει τις λύσεις

5 + √−15 και 5 − √−15

τις γράφει αλλά τις περιφρονεί, σαν "άχρηστες"
Ετσι εμφανίζονται για πρώτη φορά γραμμένα σε βιβλίο αυτά τα παράξενα όντα, οι ρίζες των αρνητικών αριθμών, που αργότερα ονομάζονται "φανταστικές", ονομασία που παρέμεινε μέχρι και σήμερα.
Στο βιβλίο του Ars Magna Arithmeticae έχει μία συγκλονιστική δήλωση


"Igitur R.m.9 non est 3.p. nec m. sed quaedam tertia natura abscondita"
Ο αριθμός −9 δεν είναι ούτε 3 ούτε -3, αλλά κάποιο τρίτο είδος κρυμμένο (απόκρυφο) 
Με αυτές τις επιφυλάξεις μπήκε η ρίζα των αρνητικών αριθμών στη βιβλιογραφία.
Γράφει ο Cardano στο τέλος του βιβλίου του

Quinquies exscriptus, maneat tot millibus annis
[το αντέγραψα 5 φορές και ελπίζω να ζήσει 5000  χρόνια]

και δεν έχει άδικο !!
Σε λίγα χρόνια, το 1572, ο Rafael Bombelli στο βιβλίο του L'Algebra, χρησιμοποιεί κανονικά τους φανταστικούς αριθμούς και δίνει και τους κανόνες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού.



Η περιγραφή βέβαια γίνεται με λόγια, piu di meno και men di meno για τη θετική και την αρνητική ρίζα του -1.
Ο συμβολισμός αργεί περίπου 2 αιώνες.
Το 1748 ο Euler κάνει την πρώτη νύξη στο βιβλίο του Introductio in Analysin infinitorum.




 Αργότερα, το 1777, αναφέρεται πιο συγκεκριμμένα στη χρήση του i σαν φανταστική μονάδα. Η σημείωση αυτή όμως δημοσιεύτηκε το 1794, μετά το θάνατο του μεγάλου Γερμανού μαθηματικού.




500 χρόνια μετά τον Cardano ο Eric Clapton και ο JJ Cale θυμήθηκαν τη μαγική λέξη abscondita, που έζησε στις Λατινογενείς γλώσσες και έφτιαξαν το αριστουργηματικό Road to Escondido, την πορεία προς το αιώνιο άγνωστο.


__________________________________________
* το βιβλίο αποδίδεται στον Ηρωνα αλλά έχει γραφτεί μεταγενέστερα και αποτελεί συρραφή από διάφορους συγγραφείς.

26 Οκτ 2012

Η έκλειψη της 3ης Αυγούστου του 430 πΧ

Καλοκαίρι του 430 πΧ, Πελοποννησιακός πόλεμος, οι Αθηναίοι είναι ανάστατοι και ο Περικλής ετοιμάζει μια τρομερή επιχείρηση.
150 πλοία με πλήρη εξοπλισμό είναι έτοιμα να φύγουν για την Επίδαυρο.
Μέχρι το μεσημέρι είναι όλα έτοιμα, ανεβαίνει και ο Περικλής στη τριήρη του αλλά αρχίζει να διαδίδεται ένας πανικός. Μία έκλειψη ηλίου ξεκινάει στις 5 το απόγευμα

και φτάνει στο μέγιστο περίπου σε μία ώρα.
Ο Θουκυδίδης αναφέρει ότι φάνηκαν και αστέρια.


Η άποψη που επικρατεί εκείνη την περίοδο είναι ότι ο ήλιος και η σελήνη είναι θεότητες και μία έκελιψη είναι κακός οιωνός.
Ο Περικλής όμως είχε στενή επαφή με τον Αναξαγόρα

http://dimitristsokakis.blogspot.gr/2012/09/blog-post.html

και έχει αποδεχτεί τις επαναστατικές, για την εποχή, θεωρίες ότι ο ήλιος είναι ένα διάπυρο σώμα και ότι η σελήνη είναι ετερόφωτη.
Δεν είναι όμως ώρα για θεωρίες, πρέπει να βρεθεί ένα πειστικό επιχείρημα που να έχει άμεσο αποτέλεσμα.
Ο Πλούταρχος περιγράφει γλαφυρότατα τη σκηνή.


Ο Περικλής σηκώνει τη χλαμύδα, σκεπάζει τη θέα του κυβερνήτη του πλοίου, τον ρωτάει αν βλέπει κάτι κακό να έρχεται απ' αυτό και, στην εύλογη αρνητική του απάντηση του εξηγεί ότι απλά κάτι άλλο, πιο μεγάλο, σκιάζει αυτή τη στιγμή τον ήλιο.
Η έκλειψη κράτησε μέχρι τις 7 το απόγευμα


όταν ο ήλιος ήτανε κοντά στη δύση του.
Από τους υπολογισμούς της NASA, η κάλυψη του ήλιου ήταν 88% και εκείνη την ώρα ήταν στο στερέωμα ο Αρης και η Αφροδίτη, αν και ο Θουκυδίδης αποφεύγει να δώσει συγκεκριμμένες πληροφορίες.

Η ορατότητα της έκλειψης εκείνη την ημέρα φαίνεται στο διάγραμμα




21 Οκτ 2012

103.049 ακριβώς

Τον 3ο πΧ αιώνα ο λόγος, η λογική αλλά και τα μαθηματικά έχουν προοδεύσει σε εντυπωσιακό βαθμό και η ανάπτυξη των επιχειρημάτων απασχολεί τους φιλοσόφους. Με πόσους τρόπους μπορούμε να συνδυάσουμε τις λογικές προτάσεις, όταν φτιάχνουμε ένα σύνθετο επιχείρημα ; Ο στωικός φιλόσοφος Χρύσιππος [280-207 πΧ] δίνει ένα παράδειγμα : 10 προτάσεις μπορούν να συνδυαστούν με πάνω από ένα εκατομμύριο τρόπους.
Η άποψη αυτή απασχολεί εκατό χρόνια αργότερα τον μεγάλο αστρονόμο Ιππαρχο [190-125 πΧ], που δίνει μια αποστομωτική απάντηση.

μυριάδας δέκα και προς ταύταις τρισχίλια τεσσαράκοντα εννέα
103.049 ακριβώς


Ο Πλούταρχος φρόντισε να διασώσει την αναφορά σε δύο βιβλία του.



Βέβαια ο Ιππαρχος δεν έχει ανάγκη να εξηγήσει τους συλλογισμούς που τον οδήγησαν στο αποτέλεσμα, για αυτόν είναι περίπου προφανές, ο κύριος σκοπός της αναφοράς είναι να διορθώσει τον Χρύσιππο και να βάλει το θέμα σε μία τάξη, αποφεύγοντας τις γενικότητες και τις υπερβολές.
Οι αστρονομικές παρατηρήσεις του Ιππαρχου είναι τόσο σχολαστικές και ακριβείς που δεν αφήνουν περιθώρια αμφισβήτησης σε ότι λέει. Ο προβληματισμός των μεταγενέστερων αναφέρεται στο πώς οδηγήθηκε σε αυτό το συμπέρασμα. Μέχρι την εποχή του δεν υπάρχει καμμία αναφορά γνώσεων συνδυαστικής. Υπάρχει βέβαια μία αναφορά στο αραβικό κείμενο του IBN AN-NADIM "Fihrist"  για συγγράμματα σχετικά με την υποδιαίρεση των αριθμών και την τέχνη της άλγεβρας, αλλά είναι πιθανόν να αναφέρονται στον Διόφαντο, που είναι στην επόμενη παράγραφο. Αλλωστε το χειρόγραφο στη σειρά του Ιππαρχου είναι μισοσβυσμένο και δυσανάγνωστο.


Το θέμα απασχολεί όλες τις επόμενες γενιές και πολλοί μεγάλοι μαθηματικοί (ανάμεσά τους και ο Cantor) προσπαθούν χωρίς επιτυχία να απαντήσουν.
Ετσι, το 1920 η αυθεντία της ιστορίας των Ελληνικών μαθηματικών Sir T. L. Heath γράφει πως είναι αδύνατο να βρει κανείς άκρη με αυτούς τους περίεργους αριθμούς.


Γύρω στο 1870 ο γερμανός μαθηματικός Ernst Schröder προτείνει στην εργασία του

Schröder, Ernst , "Vier combinatorische Probleme", Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik 15: 361–376 

τους ομώνυμους αριθμούς που λύνουν το πρόβλημα του πλήθους των πολυγώνων που προκύπτουν από τη διαίρεση ενός πολυγώνου από τις διαγωνίους του.




Οι αριθμοί αυτοί δίνονται από την αναδρομική σχέση

και είναι
1, 1, 3, 11, 45, 197, 903, 4279, 20793, 103049 κλπ
Κανείς βέβαια δεν πρόσεξε τον 10ο αριθμό αυτής της σειράς μέχρι τον Ιανουάριο του 1994. Ο David Hough, που είχε αποφασίσει να σπουδάσει μαθηματικά στα 43 του, επί πτυχίω φοιτητής στο Washington University, παρατήρησε πώς ο δέκατος αριθμός της σειράς Schröder είναι ο παράξενος αριθμός του Ιππαρχου.
Δύο εξαιρετικές περιγραφές υπάρχουν στο


και
Ο Ιππαρχος βέβαια, στην προσπάθειά του να διορθώσει τον Χρύσιππο, έδωσε και έναν δεύτερο αριθμό, 310.952 όταν πρόκειται να συνδυαστούν και αποφατικά επιχειρήματα. Μέχρι σήμερα δεν έχουν δοθεί επαρκείς εξηγήσεις για το τι αντιπροσωπεύει αυτός ο αριθμός, ούτε βέβαια για τη μέθοδο που χρησιμοποιούσε ο μεγάλος αστρονόμος.
 (από τη Σχολή των Αθηνών του Ραφαήλ)


12 Οκτ 2012

O Ποσειδώνιος και το μακρινό αστέρι

Ο Στωικός φιλόσοφος Ποσειδώνιος γεννήθηκε στην Απάμεια της Συρίας γύρω στο 135 πΧ.
Σπούδασε στην Αθήνα κοντά στον Παναίτιο, ταξίδεψε πολύ και γύρω στο 95 πΧ εγκαταστάθηκε στη Ρόδο, όπου ίδρυσε φιλοσοφική σχολή και έγραψε πολλά συγγράμματα.
Δεινός μαθηματικός και αστρονόμος, σύντομα προβληματίστηκε με το μέγεθος της γης. Εχει ήδη προηγηθεί η μέτρηση του Ερατοσθένη, αλλά ο Ποσειδώνιος θέλει ακριβέστερη μέθοδο, αναξάρτητη από τη σκιά του γνώμονα στο έδαφος. Αντιλαμβάνεται ότι τα ακριβέστερα πειράματα υπάρχουν στο σύμπαν, αρκεί να βρει κανείς τρόπο να τα παρατηρήσει.
Η λύση είναι ο Κάνωπος ή Κάνωβος [Canopus], το πιο λαμπρό αστέρι στον αστερισμό της Αργώς, που είναι κυρίως γνωστό στο νότιο ημισφαίριο.
Ο Κάνωπος είναι μόλις ορατός από τη Ρόδο [σε γεωγραφικό πλάτος 36ο], ανατέλει στο βάθος του νότιου ορίζοντα και δύει σχεδόν αμέσως. Στην Αλεξάνδρεια όμως [γ. πλ. 30ο] ανεβαίνει μέχρι 7,5 μοίρες, δηλαδή το 1/4 ενός ζωδίου, δηλαδή το 1/48 του ουράνιου στερεώματος.

 Ο Κάνωπος, όπως φαινόταν από τη Ρόδο
τα ξημερώματα της 11 Οκτώβρη του 80 πΧ

 Ο Κάνωπος, όπως φαινόταν την ίδια ώρα από την Αλεξάνδρεια. 
Υποθέτει ότι Ρόδος και Αλεξάνδρεια βρίσκονται στον ίδιο μεσημβρινό, η απόσταση των δύο πόλεων είναι περίπου 5000 στάδια, άρα η περιφέρεια της γης είναι 5000 Χ 48 = 240.000 στάδια !!
Δυστυχώς από τα συγγράμματα του Ποσειδώνιου δεν διασώθηκε τίποτα, τις αναλυτικές πληροφορίες μας δίνει ο Κλεομήδης στην Κυκλική θεωρία μετεώρων.




Ο Κάνωπος, λόγω της λαμπρότητάς του, ήταν γνωστός σε όλους τους λαούς του κόσμου και σε κάθε περιοχή υπήρχαν διάφοροι μύθοι γιαυτόν.
Σε μας η ονομασία προέρχεται από τον μυθολογικό καπετάνιο του Μενέλαου. Φεύγοντας από την Τροία τους πέταξε η τρικυμία στην Αίγυπτο, όπου έμειναν 5 χρόνια. Ο Κάνωπος ήταν πολύ ωραίος και τον αγάπησε η Θεονόη, κόρη του βασιλιά της Αιγύπτου Πρωτέα, που περιφρόνησε τον Κάνωπο. Οταν αργότερα πέθανε από δάγκωμα φιδιού, ο Μενέλαος τον τίμησε δίνοντας το όνομά του σε ένα νησάκι στις εκβολές του Νείλου και στο λαμπρό αστέρι του νότου. Πληροφορίες μας δίνει ο ταξιδευτής Σκύλαξ ο Καριανδεύς στο βιβλίο του Περίπλους



 Στη φαντασία των σχεδιαστών του ουρανού, ο Κάνωπος είναι στην πλώρη της Αργώς.
και σήμερα είναι το α του αστερισμού Carina.


Ο Ποσειδώνιος έγινε σύντομα διάσημος και πολλοί έσπευδαν στη Ρόδο για να ακούσουν τα μαθήματά του.
Μία εξαιρετική αναφορά μας δίνει ο Πλούταρχος για την επίσκεψη του ύπατου Πομπήιου

Εδώ, επί τη ευκαιρία, βλέπουμε στις κινήσεις του Πομπήιου μια εικόνα παράξενη για τα σημερινά κριτήρια. Ανάμεσα σε στρατιωτικές επιχειρήσεις, θεωρεί επιβεβλημμένο να παρακολουθήσει αγώνες ποίησης στη Μυτιλήνη, μαθήματα φιλοσοφίας στη Ρόδο και να κάνει χορηγίες συντήρησης μνημείων στην παρακμασμένη Αθήνα.
Ο Ποσειδώνιος, εκτός των άλλων, είχε κατασκευάσει ένα μηχανισμό που απέδιδε τις κινήσεις του ήλιου και των πλανητών.


Ο Κικέρωνας, μαθητής του Ποσειδώνιου,  αναφέρεται με θερμά λόγια για την κατασκευή αυτή, η οποία θα έπειθε ακόμα και τους βάρβαρους Σκύθες και Βρεταννούς για τη δύναμη της αιτιοκρατικής λογικής μπροστά στο προαιώνιο ερώτημα της δομής του σύμπαντος.


Ο Κάνωπος είναι το αστέρι αρ. 3 στη σημερινή σημαία της Βραζιλίας
Στην σύγχονη διαστημική τεχνολογία, ο Κάνωπος χρησιμοποιείται σαν κύριο αστέρι αναφοράς και πλοήγησης, λόγω της μεγάλης γωνίας της τροχιάς του με την εκλειπτική και, βέβαια, λόγω της λαμπρότητας.
Ετσι λοιπόν, όπως οδήγησε τον Ποσειδώνιο να κάνει τη μέτρηση της γης, οδηγεί και μετά από 2000 χρόνια τον άνθρωπο στην εξερεύνηση του αχανούς και του αγνώστου.
Σε κάποιες ανακοινώσεις της NASA ή του CERN, κάποιος παππούς που κάθεται διακριτικά στη γωνία, ακούγεται να μουρμουρίζει "Α! ο Κάνωπος, ναι, ξέρω για τι μιλάτε και έχω να σας πω μια πολύ παλιά ιστορία γιαυτόν". Και ο Κικέρωνας, που δεν χάνει καμμία ευκαιρία ρητορίας, προσθέτει με υπερηφάνεια "quam nuper familiaru noster effecit Posidonius", μιλώντας με την προσήκουσα τιμή για τον φίλο του τον Ποσειδώνιο.