Ο μεγάλος μαθηματικός και αστρονόμος Κόνων ο Σάμιος έχει ξεκινήσει τις μελέτες της έλικας, μιας νέας τότε καμπύλης για τη γεωμετρία. Δυστυχώς ο θάνατός του γύρω στο 220 πΧ του στέρησε τη δυνατότητα να ολοκληρώσει. Είχε όμως συζητήσει το θέμα με τον Αρχιμήδη, που ενδιαφέρθηκε ζωηρά για τις έλικες, αφού είδε ότι έλυναν τα προβλήματα του τετραγωνισμού του κύκλου και της τριχοτόμησης της γωνίας. Ετσι έγραψε ένα μικρό βιβλίο "Περί ελίκων" με ακριβείς ορισμούς και "θαυμαστές" αποδείξεις, όπως αναφέρει αργότερα [300 μΧ] ο Πάππος στο έργο του "Συναγωγή". Ο Αρχιμήδης έστελνε στον Κόνωνα μόνο τα θεωρήματα, για να ελέγξει τη δομή των συλλογισμών. Μετά το θάνατο του Κόνωνα και αφού δεν εμφανίστηκε άλλος να ασχοληθεί με το θέμα, έστειλε στο φίλο του Δοσίθεο στην Αλεξάνδρεια όλη την πραγματεία, με τους ορισμούς, τα θεωρήματα [προτάσεις], τις αποδείξεις και τα πορίσματα.
Η έλιξ του Αρχιμήδη παράγεται από μια ημιευθεία ΟΑ, που περιστρέφεται με σταθερή ταχύτητα γύρω από κάποιο κέντρο Ο, ενώ ταυτόχρονα το Α ολισθαίνει πάνω στην ΟΑ με σταθερή ταχύτητα, ενώ απομακρύνεται από το Ο.
Στην πρόταση 20 της πραγματείας ο Αρχιμήδης θέτει την ιδέα του τετραγωνισμού του κύκλου, παρατηρώντας ότι η εφαπτομένη σε ένα σημείο Ρ της έλικας OPQ' τέμνει την κάθετη στο ΟΡ σε ένα σημείο Τ, τέτοιο ώστε το ευθύγραμμο τμήμα ΟΤ να έχει το ίδιο μήκος με το τόξο ΚRP.
Η απόδειξη έχει τη συνήθη αρτιότητα και αυστηρότητα του Αρχιμήδη, ένα φλέγον ερώτημα όμως μένει αναπάντητο, πώς του ήρθε η ιδέα, μιας και τα δύο μεγέθη δε συνδέονται άμεσα. Είναι άλλωστε γνωστό το παράπονο όλων των μεταγενέστερων μαθηματικών, ο Αρχιμήδης επικεντρώνεται στις αποδείξεις και δεν έχει την ανάγκη να εξηγήσει τον τρόπο που σκεφτότανε το κάθε θέμα.
Με την άπειρη σεμνότητα που τον διέκρινε πάντα, ο Αρχιμήδης εξηγεί στον Δοσίθεο ότι ο Κόνων απλά δεν πρόλαβε να ολοκληρώσει τη μελέτη των ελίκων "Ολα αυτά θα τα είχε βρει και άλλα πολλά για να προοδεύσει η γεωμετρία."
Στους αιώνες που ακολούθησαν, όλοι οι μεγάλοι μαθηματικοί ασχολήθηκαν με τα Περί Ελίκων του Αρχιμήδη, κανείς όμως δεν διατύπωσε κάποια πρόταση ή υποψία για το πώς συνέλαβε ο Αρχιμήδης την ιδιότητα αυτής της καμπύλης, που φέρει στη βιβλιογραφία το όνομά του [The Spiral of Archimedes].
