31 Οκτ 2012

Φανταστικό !!!

Εκεί γύρω στα τέλη της πΧ περιόδου η Γεωμετρία έχει γνωρίσει πλήρη ανάπτυξη και γίνονται οι πρώτες προσπάθειες δημιουργίας της άλγεβρας. Οι μετρικές σχέσεις μπορούν να συνδέουν αφηρημένους αριθμούς, χωρίς την άμεση σχέση με ευθύγραμμα ή καμπυλόγραμμα σχήματα. Οι αυστηρές απαιτήσεις των γεωμετρικών θεωρημάτων βέβαια είναι βαρειά κληρονομιά και δεν ανατρέπονται εύκολα.
Ο Ηρων ο Αλεξανδρεύς [1ος αι. μΧ] στο βιβλίο του "Στερεομετρικά"* έχει ένα λάθος.




Θέλει να υπολογίσει τον όγκο μιας σπασμένης πυραμίδας (έδώ έχουμε τη χρήση του τεχνικού όρου "κόλουρος"). Η κάτω βάση είναι a=28, η πάνω βάση είναι b=4 και η πλαϊνή ακμή είναι c=15. Για τον υπολογισμό  του χρειάζεται το ύψος h. Κάτι δεν πάει καλά όμως. Η κάθετη πλευρά k είναι ήδη μεγαλύτερη από την υποτείνουσα c.
k2 = x2 + x2 = 2x2 = 2(a-b/2)2 = 288
c2 = 225

Προχωράει όμως τους υπολογισμούς μέχρι που φτάνει στη σχέση
h2 = 81 - 144 = -63
Εχει πια μπροστά του ένα τέλειο τετράγωνο που είναι αρνητικός αριθμός. Στο σημείο αυτό προχωράει τους υπολογισμούς σαν να ήτανε 63 και χάνει την ευκαιρία να μπει στο καινούργιο.
Διακόσια χρόνια αργότερα, ο πατέρας της άλγεβρας Διόφαντος έχει στα Αριθμητικά του κεφ. 6. 24 [ακολουθώ την αρίθμηση του T. L. Heath σ. 236 από την έκδοση του 1885 ] ένα πρόβλημα, η περίμετρος ενός ορθογωνίου τριγώνου να είναι τέλειος κύβος και το άθροισμα περιμέτρου και επιφάνειας να είναι τέλειο τετράγωνο.

Οι υπολογισμοί τον οδηγούν στη λύση της

168x2 – 86x + 12 = 0

Για να έχει "αληθινές" λύσεις αυτή η εξίσωση, πρέπει η παράσταση

862 – 4 * 168 * 12 = -668

να είναι τέλειο τετράγωνο, το οποίο "ου πάντοτε δυνατόν εστιν".
Ετσι φτάνουμε στο 1545 μΧ και την κυκλοφορία του βιβλίου του Gerolamo Cardano "Ars Magna ".


Το εξώφυλλο από την πρώτη έκδοση του βιβλίου.
Το motto γύρω από το σκίτσο του Cardano "ΕΙΣ ΤΟ ΦΕΡΤΕΡΟΝ ΤΙΘΕΙ ΤΟ ΜΕΛΛΟΝ, ΟΤΙ ΓΕΝΉΣΕΤΑΙ" είναι από την Ελένη του Ευρυπίδη (στ. 346), όπου ο χορός προτρέπει την Ελένη «Δες το μέλλον με την πιο αισιόδοξη ματιά, ότι και να γίνει»



Το πρόβλημα ΧΧΧVII με πρώτη ματιά είναι απλό. Ζητάμε δύο αριθμούς με άθροισμα 10 και γινόμενο 40. Ο  Cardano εφαρμόζει τη μέθοδο επίλυσης εξισώσεων 3ου βαθμού που είχε διαμορφώσει, βρίσκει τις λύσεις

5 + √−15 και 5 − √−15

τις γράφει αλλά τις περιφρονεί, σαν "άχρηστες"
Ετσι εμφανίζονται για πρώτη φορά γραμμένα σε βιβλίο αυτά τα παράξενα όντα, οι ρίζες των αρνητικών αριθμών, που αργότερα ονομάζονται "φανταστικές", ονομασία που παρέμεινε μέχρι και σήμερα.
Στο βιβλίο του Ars Magna Arithmeticae έχει μία συγκλονιστική δήλωση


"Igitur R.m.9 non est 3.p. nec m. sed quaedam tertia natura abscondita"
Ο αριθμός −9 δεν είναι ούτε 3 ούτε -3, αλλά κάποιο τρίτο είδος κρυμμένο (απόκρυφο) 
Με αυτές τις επιφυλάξεις μπήκε η ρίζα των αρνητικών αριθμών στη βιβλιογραφία.
Γράφει ο Cardano στο τέλος του βιβλίου του

Quinquies exscriptus, maneat tot millibus annis
[το αντέγραψα 5 φορές και ελπίζω να ζήσει 5000  χρόνια]

και δεν έχει άδικο !!
Σε λίγα χρόνια, το 1572, ο Rafael Bombelli στο βιβλίο του L'Algebra, χρησιμοποιεί κανονικά τους φανταστικούς αριθμούς και δίνει και τους κανόνες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού.



Η περιγραφή βέβαια γίνεται με λόγια, piu di meno και men di meno για τη θετική και την αρνητική ρίζα του -1.
Ο συμβολισμός αργεί περίπου 2 αιώνες.
Το 1748 ο Euler κάνει την πρώτη νύξη στο βιβλίο του Introductio in Analysin infinitorum.




 Αργότερα, το 1777, αναφέρεται πιο συγκεκριμμένα στη χρήση του i σαν φανταστική μονάδα. Η σημείωση αυτή όμως δημοσιεύτηκε το 1794, μετά το θάνατο του μεγάλου Γερμανού μαθηματικού.




500 χρόνια μετά τον Cardano ο Eric Clapton και ο JJ Cale θυμήθηκαν τη μαγική λέξη abscondita, που έζησε στις Λατινογενείς γλώσσες και έφτιαξαν το αριστουργηματικό Road to Escondido, την πορεία προς το αιώνιο άγνωστο.


__________________________________________
* το βιβλίο αποδίδεται στον Ηρωνα αλλά έχει γραφτεί μεταγενέστερα και αποτελεί συρραφή από διάφορους συγγραφείς.

3 σχόλια:

  1. Λεμεσιανός Καλαμαροστρακότος31 Οκτωβρίου 2012 - 7:11 μ.μ.

    Φανταστικό indeed!!
    (imaginary εννοώ έτσι; όχι fantastic!) :-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Απαντήσεις
    1. Mε μια ...μικρή καθυστέρηση ενός χρόνου, βρήκα τα κείμενα του Bombelli και του Euler. Ελπίζω η εικόνα τώρα να είναι πιο ξεκάθαρη !!

      Διαγραφή