21 Οκτ 2012

103.049 ακριβώς

Τον 3ο πΧ αιώνα ο λόγος, η λογική αλλά και τα μαθηματικά έχουν προοδεύσει σε εντυπωσιακό βαθμό και η ανάπτυξη των επιχειρημάτων απασχολεί τους φιλοσόφους. Με πόσους τρόπους μπορούμε να συνδυάσουμε τις λογικές προτάσεις, όταν φτιάχνουμε ένα σύνθετο επιχείρημα ; Ο στωικός φιλόσοφος Χρύσιππος [280-207 πΧ] δίνει ένα παράδειγμα : 10 προτάσεις μπορούν να συνδυαστούν με πάνω από ένα εκατομμύριο τρόπους.
Η άποψη αυτή απασχολεί εκατό χρόνια αργότερα τον μεγάλο αστρονόμο Ιππαρχο [190-125 πΧ], που δίνει μια αποστομωτική απάντηση.

μυριάδας δέκα και προς ταύταις τρισχίλια τεσσαράκοντα εννέα
103.049 ακριβώς


Ο Πλούταρχος φρόντισε να διασώσει την αναφορά σε δύο βιβλία του.



Βέβαια ο Ιππαρχος δεν έχει ανάγκη να εξηγήσει τους συλλογισμούς που τον οδήγησαν στο αποτέλεσμα, για αυτόν είναι περίπου προφανές, ο κύριος σκοπός της αναφοράς είναι να διορθώσει τον Χρύσιππο και να βάλει το θέμα σε μία τάξη, αποφεύγοντας τις γενικότητες και τις υπερβολές.
Οι αστρονομικές παρατηρήσεις του Ιππαρχου είναι τόσο σχολαστικές και ακριβείς που δεν αφήνουν περιθώρια αμφισβήτησης σε ότι λέει. Ο προβληματισμός των μεταγενέστερων αναφέρεται στο πώς οδηγήθηκε σε αυτό το συμπέρασμα. Μέχρι την εποχή του δεν υπάρχει καμμία αναφορά γνώσεων συνδυαστικής. Υπάρχει βέβαια μία αναφορά στο αραβικό κείμενο του IBN AN-NADIM "Fihrist"  για συγγράμματα σχετικά με την υποδιαίρεση των αριθμών και την τέχνη της άλγεβρας, αλλά είναι πιθανόν να αναφέρονται στον Διόφαντο, που είναι στην επόμενη παράγραφο. Αλλωστε το χειρόγραφο στη σειρά του Ιππαρχου είναι μισοσβυσμένο και δυσανάγνωστο.


Το θέμα απασχολεί όλες τις επόμενες γενιές και πολλοί μεγάλοι μαθηματικοί (ανάμεσά τους και ο Cantor) προσπαθούν χωρίς επιτυχία να απαντήσουν.
Ετσι, το 1920 η αυθεντία της ιστορίας των Ελληνικών μαθηματικών Sir T. L. Heath γράφει πως είναι αδύνατο να βρει κανείς άκρη με αυτούς τους περίεργους αριθμούς.


Γύρω στο 1870 ο γερμανός μαθηματικός Ernst Schröder προτείνει στην εργασία του

Schröder, Ernst , "Vier combinatorische Probleme", Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik 15: 361–376 

τους ομώνυμους αριθμούς που λύνουν το πρόβλημα του πλήθους των πολυγώνων που προκύπτουν από τη διαίρεση ενός πολυγώνου από τις διαγωνίους του.




Οι αριθμοί αυτοί δίνονται από την αναδρομική σχέση

και είναι
1, 1, 3, 11, 45, 197, 903, 4279, 20793, 103049 κλπ
Κανείς βέβαια δεν πρόσεξε τον 10ο αριθμό αυτής της σειράς μέχρι τον Ιανουάριο του 1994. Ο David Hough, που είχε αποφασίσει να σπουδάσει μαθηματικά στα 43 του, επί πτυχίω φοιτητής στο Washington University, παρατήρησε πώς ο δέκατος αριθμός της σειράς Schröder είναι ο παράξενος αριθμός του Ιππαρχου.
Δύο εξαιρετικές περιγραφές υπάρχουν στο


και
Ο Ιππαρχος βέβαια, στην προσπάθειά του να διορθώσει τον Χρύσιππο, έδωσε και έναν δεύτερο αριθμό, 310.952 όταν πρόκειται να συνδυαστούν και αποφατικά επιχειρήματα. Μέχρι σήμερα δεν έχουν δοθεί επαρκείς εξηγήσεις για το τι αντιπροσωπεύει αυτός ο αριθμός, ούτε βέβαια για τη μέθοδο που χρησιμοποιούσε ο μεγάλος αστρονόμος.
 (από τη Σχολή των Αθηνών του Ραφαήλ)


2 σχόλια:

  1. Λεμεσιανός Καλαμαροστρακότος21 Οκτωβρίου 2012 - 3:25 μ.μ.

    Εκπληκτικό κείμενο, αλλά κάτι δεν καταλαβαίνω. Ο Χρύσιππος δεν είχε δίκιο; 10 προτάσεις (ή γενικά 10 διακριτές οντότητες) μπορούν όντως να συνδυαστούν(αν δεν υπάρχει κάποιος άλλος περιορισμός ή επανάληψη στην διάταξή τους) με πάνω από 1 εκατ. τρόπους. Για την ακρίβεια 3.628.800 τρόπους ,που αντιστοιχεί στο 10!
    Μήπως το αρχικό πρόβλημα στο οποίο ο Ίππαρχος έδωσε την εκπληκτική απάντηση 103.049 ήταν άλλο;

    Στο κομμάτι από την «Σχολή των Αθηνών» του Ραφαέλο, το περίεργο είναι ότι εικάζεται ότι ο απεικονιζόμενος είναι ο Ζωροάστρης (Ζαρατούστρα) στο οικείο άρθρο της wiki. Ακόμα πιο περίεργο είναι ότι στο άρθρο για τον Ίππαρχο, πάλι της wiki ,αποδίδεται η μορφή στον Ίππαρχο!
    Κρίμα που δε ζει ο Ραφαήλ ,να μας έλυνε το θέμα!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Ευχαριστώ για το σχόλιο. Στις παραπομπές που δίνω, ιδιαίτερα στον Acerbi, υπάρχει αναλυτική και εξαντλητική περιγραφή. Ως προς το ερώτημα τώρα, το λέει καθαρά ο Πλούταρχος, δύο φορές μάλιστα, που αποτελούν και τις μόνες αναφορές στο θέμα. Με την ευκαιρία, να εξηγήσω κάτι απλό. Δεν υπάρχουν "άλλες" πηγές, όσο "φιλόλογος" και να είναι κανείς, όλοι τον ίδιο Πλούταρχο διαβάζουνε.

    ΑπάντησηΔιαγραφή